Alpha 1

1. Бабушка развела гусей и кроликов. У них вместе 27 голов и 72 лапки. Сколько гусей и сколько кроликов?

2. Возьмите любое трехзначное число. Умножьте его на 7, результат умножьте на 11, а новый результат - на 13. Сравните полученное число с исходным, опишите обнаруженное явление и объясните его причину.

3. Какое число надо вычесть из числителя дроби 37/63 и прибавить к ее знаменателю, чтобы получилась дробь, равная 3/17?

4*. Какой остаток дает число 2 в степени 100 при делении на 7?

5. На прямой на равном расстоянии друг от друга лежат 10 точек, расстояние между крайними - 45 см. Каково расстояние между соседними точками?

6*. Улитка ползет по столбу, высота которого 10 м. За день она проползает 4 м вверх, а ночью соскальзывает на 3 м вниз. За сколько дней доползет улитка до конца столба?

7. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 30 см, 45 см и 60 см разрезали на кубики с ребром, равным 3 см. Какую длину имела бы цепочка из кубиков, если бы их выстроили в один ряд? А если бы разрезали на кубики с ребром 1 см?

Графики движения

Декабрь 2006 - январь 2007, 18 задач

1. Машина полчаса ехала со скоростью 80 км/ч, затем полчаса стояла и потом снова ехала полчаса с той же скоростью до конечного пункта. Нарисуйте график движения машины. Найдите среднюю скорость машины на отрезке времени длиной 1 час. Зависит ли ответ от выбора этого отрезка? А какая средняя скорость за все время движения?

2. Аня обычно приезжала на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ней приезжал на велосипеде Боб и вез ее домой. Однажды она приехала на час раньше, пошла пешком, встретила на дороге Боба и вернулась домой на 20 минут раньше обычного. Сколько времени она шла пешком?

3. Аня и Боб одновременно из одной точки начали движение по кольцевой дороге. Аня бежит, а Боб едет на велосипеде со скоростью в 4 раза большей скорости Ани. Нарисуйте их графики движения и сосчитайте, сколько раз они встретятся, пока Аня пробежит круг, если они стартовали: а) в одном направлении; б) в противоположных направлениях.

4. Сколько раз между 12 пополудни и 12 часами ночи минутная стрелка совпадает с часовой?

Problem 14. Rectangle

A rectangle is cut into several rectangles, perimeter of each of which is an integer number of meters (perimeter of a rectangle is a sum of lengths of its sides). Is it necessary that perimeter of the original rectangle is an integer number of meters?

Problem 13. Fractions

Each of the equations below is missing numerators:
A) x/7 - y/5 = 1/35;
B) x/5 - y/7 = 1/35.
Find the possible pairs of numerators. Don't forget about mixed fractions.

Welcome!

В кружок Задача в неделю для 5-8 классов легко поступить, нужно просто присылать решения задач, начать можно с любой. Если будет хорошо получаться, то стоит попробовать учиться в кружке Alpha, где примерно 7 задач из разных тем предлагаются на две недели. Решая в нем задачи, можно поближе познакомиться с математическими рассуждениями, научиться находить неизвестное.

Далее, Beta - кружок для тех, кто перерастает Alpha и читает журнал "Квант". В этом кружке задания по темам, он дополняет программу ЗМШ при МГУ, в нем один из ориентиров - книжка "Заочные математические олимпиады", а "Прямые и кривые" Н.Б.Васильева и В.Л.Гутенмахера будут разобраны с применением программ интерактивной геометрии.

Sigma - кружок для школьников 10-12 классов, помогающий освоить программу хорошей матшколы и знакомящий с приложениями математики (физика, экономика, математическая статистика). Ориентация на опыт Е.Б.Дынкина, М.А.Шубина, А.Х.Шеня и А.Л.Городенцева.

В 2006-07 учебном году работают кружки Задача в неделю, Alpha и Листки с заданиями на месяц. Принимаются решения задач как на английском, так и на русском языке.

Problem 12. Two-digit Number

A two-digit number AB has A as its tens digit, which is less than or equal to the units digit B. When AB is multiplied by BA, the result is 2701. What is the two-digit number AB?

Problem 11. Searching and Sorting

(a) I have a friend who answers only "yes" and "no" to all questions. He lives in a 16 story building and I want to find out what floor he lives on. My goal is to ask as few questions as possible. How can I do that?

(b) Is it possible to sort an array of 4 numbers with just 5 comparison operations? and with 4 comparison operations?

Problem 10. The Walk

A father and his son are workers, and they walk from home to the plant. The farther covers the distance in 40 minutes, the son in 30 minutes. In how many minutes will the son overtake the father if the latter leaves home 5 minutes earlier than the son?

Математическая смесь (9-12 классы)

Ноябрь 2006, 20 задач

1. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2006. Разрешается стирать любые два числа и записывать вместо них их разность. Может ли в конце остаться один нуль? А если числа 1, 2, 3,..., 2006, 2007?

2. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

3. На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

4. В центре бассейна круглой формы плавает мальчик, а вокруг бассейна бегает сторож. Максимальная скорость мальчика в воде в 4 раза меньше максимальной скорости сторожа на суше. Сторож плавать не умеет, а по земле мальчик бегает быстрее сторожа. Докажите, что мальчик может убежать.

5. Докажите неравенство (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 1/10.

6. Известно, что сумма нескольких натуральных чисел делится на 6. Докажите, что сумма кубов этих чисел тоже делится на 6.

7. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной 10 км. Можно ли соединить их между собой дорогами общей длиной не более 28 км?

8. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Может ли так быть?

9. Докажите, что хотя бы одно из значений квадратного трехчлена y=x²+px+q в точках -1, 0, 1 по модулю не меньше 1/2.

10. Из вершин A и B треугольной пирамиды ABCD опущены высоты - прямые, перпендикулярные противоположным граням. Докажите, что они пересекаются в том и только том случае, когда ребра AB и CD перпендикулярны.

11. Докажите, что если a+b+c=0, то (a²+b²+c²)² = 2(a⁴+b⁴+c⁴).

12. Тело состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до квадрата со стороной a не превосходит r. Найдите объем этого тела.

Problem 9. Sticks

Each figure is made up of sticks. The number of sticks in the first figure is 4, in the second figure is 10, and in the third figure is 18. Continuing this pattern, how many sticks are in the 6^th figure? How many sticks are in the 100^th figure?

Problem 8. Three digits

Attribute three more digits from the right to the number 1000 in such a way that resulting number will be divisible by 7, 8 and 9.

Problem 7. The Traveling Bee

Two trains leave two towns that are fifty miles apart. They travel toward each other at rates of 30 mph and 20 mph respectively. A bumblebee flying at the rate of 50 mph starts out just as the faster train departs the train station, and flies to the slower train. The bee then turns around and goes back to meet the faster train. Then it turns around again, etc., and it keeps flying back and forth between the trains until the trains meet. How far does the tired bumblebee fly?

Problem 6. Travelling

Anne and Bob travel from A to B. Anne rides a bicycle, while Bob drives a car. The car is two times faster than the bicycle. At the two thirds way point the car breaks, and the remaining one third way Bob walks with the speed two times smaller than that of Anne. Who arrives first to B?

Problem 5. Wastage

A product weighed 100 pounds. Originally, 99% of the weight was composed of water. After a time the product became drier and now 98% of the product is composed of water. What is the current weight of this product?

Кузнечик

Октябрь 2006, 9 задач

Кузнечик прыгает по целым точкам числовой прямой. Он начинает из точки 0 и прыгает только вперед (в положительном направлении). Точки, в которые он может попасть, назовем достижимыми, а остальные - недостижимыми. Начальная точка 0 считается достижимой, все отрицательные целые точки оказываются недостижимыми.

1. Кузнечик может прыгать вперед на 3 и на 5 единиц длины. Отметьте все достижимые точки. Докажите, что все точки, начиная с 8, оказываются достижимыми.

Отметим достижимую точку буквой A, а недостижимую - буквой B. Вот как расположатся пометки вблизи точки 0:

...BBBABBA...

Первая слева буква A отмечает точку старта (точку 0). До нее слева буквы B отмечают недостижимые отрицательные точки. Нужно продолжить пометки вправо. Интересно, как там расположены буквы?

2. Кузнечик может прыгать вперед на 5 и на 7 единиц длины. Отметьте все достижимые точки (приведите слово из букв A и B). Начиная с какой достижимой точки все следующие за ней также будут достижимые?

3. Кузнечик может прыгать вперед на a и на b единиц длины, где a и b - взаимно простые числа. Докажите, что есть замечательная точка, которая достижимая, стоит после недостижимой, а все следующие за ней тоже достижимые. Найдите формулу замечательной точки (зависимость ее координаты от a и b).

4. Проверьте на примерах, что множества достижимых и недостижимых точек симметричны друг другу относительно некоторой точки, и докажите это утверждение в общем случае.

5. Подсчитайте количество положительных недостижимых точек.

Математическая смесь (5-8 классы)

Октябрь-ноябрь 2006, 25 задач

1. У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?

2. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла?

3. На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе?

4. У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы у них стало денег поровну?

5. Разговор:

• У Димы больше тысячи книг!
• Да нет, у него меньше тысячи книг.
• Ну уж одна-то книга у него есть.
  

Известно, что среди этих утверждений ровно одно верное. Сколько книг может быть у Димы?

6. Бухгалтер каждый месяц подсчитывал доход и расход предприятия. Мог ли доход за любые 5 подряд идущих месяцев превышать расход, а за весь год, наоборот, оказаться меньше расхода?

7. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. За сколько дней съедят всю траву 20 коров?

Problem 4. Cube

There is a solid cube with an edge length 6 cm and painted red on the outside. Imagine that you cut it in small cubes with an egde length 1 cm. How many of small cubes have exactly (a) one; (b) two; (c) three red sides? (d) not a sigle red side?

Problem 3. Four numbers

Four integers a, b, c, d produce 6 pairwise sums 2, 4, 9, 9, 14, 16. Is that possible? If a, b, c, d are not necessarily integers then what are their values?

Problem 2. Weighings

There are 9 coins among which one is false (it is lighter then normal coins). How one can find false coin in two attempts by using just balance without weights? (here by balance we mean 2-cup balance used in old times)

Переливания и перемешивания

Сентябрь 2006, 15 задач

1. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды и еще полстакана, после чего воды не осталось. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием?

2. Есть чашка кофе и чашка молока. Ложку молока перелили в кофе, перемешали и ложку полученной смеси перелили обратно в молоко. Чего в результате больше: молока в кофе или кофе в молоке?

3. В первом бидоне 2 л кофе, а во втором - 2 л молока. Из первого переливают 1 л во второй (достаточно большой), перемешивают, а затем переливают 1 л обратно в первый бидон и опять перемешивают. Докажите, что если эти действия повторять, то количество кофе как в первом, так и во втором бидоне, будет стремиться к 1 л.

4. В двух достаточно больших бидонах находится кофе, разбавленный молоком, концентрации кофе разные. Разрешается отлить p-ю часть смеси из первого бидона во второй, а затем q-ю часть из второго бидона в первый. Эти действия повторяют многократно. Докажите, что происходит перемешивание, то есть концентрации кофе в бидонах выравниваются.

Комбинаторика

Сентябрь-октябрь 2006, 21 задача

1. Сколько трехзначных номеров с различными цифрами? Сколько из них с возрастающим порядком цифр?

2. На окружности выбрано 10 точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках?

3. Сколько трехзначных номеров, в которых: а) встречается цифра 8 или цифра 9; б) встречается и цифра 8, и цифра 9?

4. При каком наименьшем n среди n-значных номеров больше тех, в записи которых хотя бы раз встречается цифра 9?

Welcome!

В этом блоге публикуются избранные задачи листков (sheets) - заданий по математике для школьников 5-12 классов. Занятия по листкам организованы через список рассылки. Первое задание учебного года (на сентябрь) вступительное. Материалы блога могут использовать учителя для математических кружков и родители для занятий с детьми.

Problem 1. Fractions

a) Six friends participated in a birthday party. The first one got 1/6 of an apple pie, the second 1/5 of the remaining part. The third one got 1/4 of the part left after the first two, the fourth one got 1/3 of what remained after the first three. The rest was split evenly between the last two friends. Who got the biggest piece?

b) How to divide 5 apples equally between 6 kids so that no apple is cut in more than three pieces?

Welcome to Math Circle!

Математический кружок "Задача в неделю" работает для школьников 5-8 классов. К занятиям можно подключиться в любое время. Они идут по переписке: каждую неделю публикуется одна задача, а через неделю нужно послать (по электронной почте) на проверку ее решение. В письме нужно указать фамилию, имя, класс и город (или область, штат).