Problem 4. Cube

There is a solid cube with an edge length 6 cm and painted red on the outside. Imagine that you cut it in small cubes with an egde length 1 cm. How many of small cubes have exactly (a) one; (b) two; (c) three red sides? (d) not a sigle red side?

Problem 3. Four numbers

Four integers a, b, c, d produce 6 pairwise sums 2, 4, 9, 9, 14, 16. Is that possible? If a, b, c, d are not necessarily integers then what are their values?

Problem 2. Weighings

There are 9 coins among which one is false (it is lighter then normal coins). How one can find false coin in two attempts by using just balance without weights? (here by balance we mean 2-cup balance used in old times)

Переливания и перемешивания

Сентябрь 2006, 15 задач

1. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды и еще полстакана, после чего воды не осталось. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием?

2. Есть чашка кофе и чашка молока. Ложку молока перелили в кофе, перемешали и ложку полученной смеси перелили обратно в молоко. Чего в результате больше: молока в кофе или кофе в молоке?

3. В первом бидоне 2 л кофе, а во втором - 2 л молока. Из первого переливают 1 л во второй (достаточно большой), перемешивают, а затем переливают 1 л обратно в первый бидон и опять перемешивают. Докажите, что если эти действия повторять, то количество кофе как в первом, так и во втором бидоне, будет стремиться к 1 л.

4. В двух достаточно больших бидонах находится кофе, разбавленный молоком, концентрации кофе разные. Разрешается отлить p-ю часть смеси из первого бидона во второй, а затем q-ю часть из второго бидона в первый. Эти действия повторяют многократно. Докажите, что происходит перемешивание, то есть концентрации кофе в бидонах выравниваются.

Комбинаторика

Сентябрь-октябрь 2006, 21 задача

1. Сколько трехзначных номеров с различными цифрами? Сколько из них с возрастающим порядком цифр?

2. На окружности выбрано 10 точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках?

3. Сколько трехзначных номеров, в которых: а) встречается цифра 8 или цифра 9; б) встречается и цифра 8, и цифра 9?

4. При каком наименьшем n среди n-значных номеров больше тех, в записи которых хотя бы раз встречается цифра 9?

Welcome!

В этом блоге публикуются избранные задачи листков (sheets) - заданий по математике для школьников 5-12 классов. Занятия по листкам организованы через список рассылки. Первое задание учебного года (на сентябрь) вступительное. Материалы блога могут использовать учителя для математических кружков и родители для занятий с детьми.

Problem 1. Fractions

a) Six friends participated in a birthday party. The first one got 1/6 of an apple pie, the second 1/5 of the remaining part. The third one got 1/4 of the part left after the first two, the fourth one got 1/3 of what remained after the first three. The rest was split evenly between the last two friends. Who got the biggest piece?

b) How to divide 5 apples equally between 6 kids so that no apple is cut in more than three pieces?

Welcome to Math Circle!

Математический кружок "Задача в неделю" работает для школьников 5-8 классов. К занятиям можно подключиться в любое время. Они идут по переписке: каждую неделю публикуется одна задача, а через неделю нужно послать (по электронной почте) на проверку ее решение. В письме нужно указать фамилию, имя, класс и город (или область, штат).