Problem 8. Three digits
Attribute three more digits from the right to the number 1000 in such a way that resulting number will be divisible by 7, 8 and 9.
Problem 7. The Traveling Bee
Two trains leave two towns that are fifty miles apart. They travel toward each other at rates of 30 mph and 20 mph respectively. A bumblebee flying at the rate of 50 mph starts out just as the faster train departs the train station, and flies to the slower train. The bee then turns around and goes back to meet the faster train. Then it turns around again, etc., and it keeps flying back and forth between the trains until the trains meet. How far does the tired bumblebee fly?
Problem 6. Travelling
Anne and Bob travel from A to B. Anne rides a bicycle, while Bob drives a car. The car is two times faster than the bicycle. At the two thirds way point the car breaks, and the remaining one third way Bob walks with the speed two times smaller than that of Anne. Who arrives first to B?
Problem 5. Wastage
A product weighed 100 pounds. Originally, 99% of the weight was composed of water. After a time the product became drier and now 98% of the product is composed of water. What is the current weight of this product?
Кузнечик
Октябрь 2006, 9 задач
Кузнечик прыгает по целым точкам числовой прямой. Он начинает из точки 0 и прыгает только вперед (в положительном направлении). Точки, в которые он может попасть, назовем достижимыми, а остальные - недостижимыми. Начальная точка 0 считается достижимой, все отрицательные целые точки оказываются недостижимыми.
1. Кузнечик может прыгать вперед на 3 и на 5 единиц длины. Отметьте все достижимые точки. Докажите, что все точки, начиная с 8, оказываются достижимыми.
Отметим достижимую точку буквой A, а недостижимую - буквой B. Вот как расположатся пометки вблизи точки 0:
...BBBABBA...
Первая слева буква A отмечает точку старта (точку 0). До нее слева буквы B отмечают недостижимые отрицательные точки. Нужно продолжить пометки вправо. Интересно, как там расположены буквы?2. Кузнечик может прыгать вперед на 5 и на 7 единиц длины. Отметьте все достижимые точки (приведите слово из букв A и B). Начиная с какой достижимой точки все следующие за ней также будут достижимые?
3. Кузнечик может прыгать вперед на a и на b единиц длины, где a и b - взаимно простые числа. Докажите, что есть замечательная точка, которая достижимая, стоит после недостижимой, а все следующие за ней тоже достижимые. Найдите формулу замечательной точки (зависимость ее координаты от a и b).
4. Проверьте на примерах, что множества достижимых и недостижимых точек симметричны друг другу относительно некоторой точки, и докажите это утверждение в общем случае.
5. Подсчитайте количество положительных недостижимых точек.
Математическая смесь (5-8 классы)
Октябрь-ноябрь 2006, 25 задач
1. У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?
2. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла?
3. На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе?
4. У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы у них стало денег поровну?
5. Разговор:
- У Димы больше тысячи книг!
- Да нет, у него меньше тысячи книг.
- Ну уж одна-то книга у него есть.
6. Бухгалтер каждый месяц подсчитывал доход и расход предприятия. Мог ли доход за любые 5 подряд идущих месяцев превышать расход, а за весь год, наоборот, оказаться меньше расхода?
7. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. За сколько дней съедят всю траву 20 коров?
Subscribe to:
Posts (Atom)