Welcome!

В кружок Задача в неделю для 5-8 классов легко поступить, нужно просто присылать решения задач, начать можно с любой. Если будет хорошо получаться, то стоит попробовать учиться в кружке Alpha, где примерно 7 задач из разных тем предлагаются на две недели. Решая в нем задачи, можно поближе познакомиться с математическими рассуждениями, научиться находить неизвестное.

Далее, Beta - кружок для тех, кто перерастает Alpha и читает журнал "Квант". В этом кружке задания по темам, он дополняет программу ЗМШ при МГУ, в нем один из ориентиров - книжка "Заочные математические олимпиады", а "Прямые и кривые" Н.Б.Васильева и В.Л.Гутенмахера будут разобраны с применением программ интерактивной геометрии.

Sigma - кружок для школьников 10-12 классов, помогающий освоить программу хорошей матшколы и знакомящий с приложениями математики (физика, экономика, математическая статистика). Ориентация на опыт Е.Б.Дынкина, М.А.Шубина, А.Х.Шеня и А.Л.Городенцева.

В 2006-07 учебном году работают кружки Задача в неделю, Alpha и Листки с заданиями на месяц. Принимаются решения задач как на английском, так и на русском языке.

Problem 12. Two-digit Number

A two-digit number AB has A as its tens digit, which is less than or equal to the units digit B. When AB is multiplied by BA, the result is 2701. What is the two-digit number AB?

Problem 11. Searching and Sorting

(a) I have a friend who answers only "yes" and "no" to all questions. He lives in a 16 story building and I want to find out what floor he lives on. My goal is to ask as few questions as possible. How can I do that?

(b) Is it possible to sort an array of 4 numbers with just 5 comparison operations? and with 4 comparison operations?

Problem 10. The Walk

A father and his son are workers, and they walk from home to the plant. The farther covers the distance in 40 minutes, the son in 30 minutes. In how many minutes will the son overtake the father if the latter leaves home 5 minutes earlier than the son?

Математическая смесь (9-12 классы)

Ноябрь 2006, 20 задач

1. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2006. Разрешается стирать любые два числа и записывать вместо них их разность. Может ли в конце остаться один нуль? А если числа 1, 2, 3,..., 2006, 2007?

2. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

3. На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

4. В центре бассейна круглой формы плавает мальчик, а вокруг бассейна бегает сторож. Максимальная скорость мальчика в воде в 4 раза меньше максимальной скорости сторожа на суше. Сторож плавать не умеет, а по земле мальчик бегает быстрее сторожа. Докажите, что мальчик может убежать.

5. Докажите неравенство (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 1/10.

6. Известно, что сумма нескольких натуральных чисел делится на 6. Докажите, что сумма кубов этих чисел тоже делится на 6.

7. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной 10 км. Можно ли соединить их между собой дорогами общей длиной не более 28 км?

8. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Может ли так быть?

9. Докажите, что хотя бы одно из значений квадратного трехчлена y=x²+px+q в точках -1, 0, 1 по модулю не меньше 1/2.

10. Из вершин A и B треугольной пирамиды ABCD опущены высоты - прямые, перпендикулярные противоположным граням. Докажите, что они пересекаются в том и только том случае, когда ребра AB и CD перпендикулярны.

11. Докажите, что если a+b+c=0, то (a²+b²+c²)² = 2(a⁴+b⁴+c⁴).

12. Тело состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до квадрата со стороной a не превосходит r. Найдите объем этого тела.

Problem 9. Sticks

Each figure is made up of sticks. The number of sticks in the first figure is 4, in the second figure is 10, and in the third figure is 18. Continuing this pattern, how many sticks are in the 6^th figure? How many sticks are in the 100^th figure?