Ноябрь 2006, 20 задач
1. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2006. Разрешается стирать любые два числа и записывать вместо них их разность. Может ли в конце остаться один нуль? А если числа 1, 2, 3,..., 2006, 2007?
2. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?
3. На сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.
4. В центре бассейна круглой формы плавает мальчик, а вокруг бассейна бегает сторож. Максимальная скорость мальчика в воде в 4 раза меньше максимальной скорости сторожа на суше. Сторож плавать не умеет, а по земле мальчик бегает быстрее сторожа. Докажите, что мальчик может убежать.
5. Докажите неравенство (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 1/10.
6. Известно, что сумма нескольких натуральных чисел делится на 6. Докажите, что сумма кубов этих чисел тоже делится на 6.
7. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной 10 км. Можно ли соединить их между собой дорогами общей длиной не более 28 км?
8. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Может ли так быть?
9. Докажите, что хотя бы одно из значений квадратного трехчлена y=x2+px+q в точках -1, 0, 1 по модулю не меньше 1/2.
10. Из вершин A и B треугольной пирамиды ABCD опущены высоты - прямые, перпендикулярные противоположным граням. Докажите, что они пересекаются в том и только том случае, когда ребра AB и CD перпендикулярны.
11. Докажите, что если a+b+c=0, то (a2+b2+c2)2 = 2(a4+b4+c4).
12. Тело состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до квадрата со стороной a не превосходит r. Найдите объем этого тела.
