Alpha 1

1. Бабушка развела гусей и кроликов. У них вместе 27 голов и 72 лапки. Сколько гусей и сколько кроликов?

2. Возьмите любое трехзначное число. Умножьте его на 7, результат умножьте на 11, а новый результат - на 13. Сравните полученное число с исходным, опишите обнаруженное явление и объясните его причину.

3. Какое число надо вычесть из числителя дроби 37/63 и прибавить к ее знаменателю, чтобы получилась дробь, равная 3/17?

4*. Какой остаток дает число 2 в степени 100 при делении на 7?

5. На прямой на равном расстоянии друг от друга лежат 10 точек, расстояние между крайними - 45 см. Каково расстояние между соседними точками?

6*. Улитка ползет по столбу, высота которого 10 м. За день она проползает 4 м вверх, а ночью соскальзывает на 3 м вниз. За сколько дней доползет улитка до конца столба?

7. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 30 см, 45 см и 60 см разрезали на кубики с ребром, равным 3 см. Какую длину имела бы цепочка из кубиков, если бы их выстроили в один ряд? А если бы разрезали на кубики с ребром 1 см?

Графики движения

Декабрь 2006 - январь 2007, 18 задач

1. Машина полчаса ехала со скоростью 80 км/ч, затем полчаса стояла и потом снова ехала полчаса с той же скоростью до конечного пункта. Нарисуйте график движения машины. Найдите среднюю скорость машины на отрезке времени длиной 1 час. Зависит ли ответ от выбора этого отрезка? А какая средняя скорость за все время движения?

2. Аня обычно приезжала на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ней приезжал на велосипеде Боб и вез ее домой. Однажды она приехала на час раньше, пошла пешком, встретила на дороге Боба и вернулась домой на 20 минут раньше обычного. Сколько времени она шла пешком?

3. Аня и Боб одновременно из одной точки начали движение по кольцевой дороге. Аня бежит, а Боб едет на велосипеде со скоростью в 4 раза большей скорости Ани. Нарисуйте их графики движения и сосчитайте, сколько раз они встретятся, пока Аня пробежит круг, если они стартовали: а) в одном направлении; б) в противоположных направлениях.

4. Сколько раз между 12 пополудни и 12 часами ночи минутная стрелка совпадает с часовой?

Problem 14. Rectangle

A rectangle is cut into several rectangles, perimeter of each of which is an integer number of meters (perimeter of a rectangle is a sum of lengths of its sides). Is it necessary that perimeter of the original rectangle is an integer number of meters?

Problem 13. Fractions

Each of the equations below is missing numerators:
A) x/7 - y/5 = 1/35;
B) x/5 - y/7 = 1/35.
Find the possible pairs of numerators. Don't forget about mixed fractions.