Problem 32. Four people
Among 4 people no three have the same first, middle or last name. However any two of them have the same first or middle or last name. How is that possible?
Problem 31. The flight
A plane flied 300 miles south from Washington (DC), then 300 miles west, then 300 miles north and finally 300 miles east. Will the plane land to the south, north, east or west of Washington, or it will land at Washington?
Alpha 7 - 10 Dec 07
1. There is a pound of candy in three packages. The first package has by weight not less candy than the second one, and the second package has by weight not less candy than the third. What is the maximal possible amount of candy in the third package?
2. Find a and b if a - b = 5 and a/b = 5.
3. Present 12 as a sum of positive integers such that their product is maximal.
4. Place 7 points on the plane so that among any three of them at least two are at the distance of 1 from each other.
5. Paint a plane with nine colors so that any two points at the distance of 1 from each other would be of different colors.
2. Find a and b if a - b = 5 and a/b = 5.
3. Present 12 as a sum of positive integers such that their product is maximal.
4. Place 7 points on the plane so that among any three of them at least two are at the distance of 1 from each other.
5. Paint a plane with nine colors so that any two points at the distance of 1 from each other would be of different colors.
Problem 30. Change
A cashier has only 5 cent and 10 cent coins. In how many different ways can he give 50 cents of change?
Problem 29. Is it possible to connect?
Is it possible to connect 16 points by arcs so that each point will be connected with exactly 4 other points?
Alpha 6 - 26 Nov 07
1. The cost of 5 apples, 5 pears and one orange is 78 cents, when the cost of one apple, 5 pears and 5 oranges is 1 dollar and 18 cents. What is the cost of one pear? (All oranges are alike as well as pears and apples.)
2. What is the smallest number divisible by each of the numbers 1 to 20?
3. If you multiply all integers from 1 to 100 (1 and 100 included), you will get a large number ending in a lot of zeros. Exactly how many zeros will be at the end of this number?
4. Is it possible to fill in a 5x5 table using numbers such that the sum of all them is positive, but the sum of any 4 numbers forming a 2x2 sub-table is negative?
5. There are 32 students in the Math Club. In November one of them solved 15 problems while others solved less than that. Prove that there are at least 3 students who solved equal number of problems.
2. What is the smallest number divisible by each of the numbers 1 to 20?
3. If you multiply all integers from 1 to 100 (1 and 100 included), you will get a large number ending in a lot of zeros. Exactly how many zeros will be at the end of this number?
4. Is it possible to fill in a 5x5 table using numbers such that the sum of all them is positive, but the sum of any 4 numbers forming a 2x2 sub-table is negative?
5. There are 32 students in the Math Club. In November one of them solved 15 problems while others solved less than that. Prove that there are at least 3 students who solved equal number of problems.
Текстовые задачи
Ноябрь-декабрь 2007, 23 задачи (по материалам А.Л.Тоома)
1. Человек вышел из дому между 9 и 10 часами утра, а пришел обратно между часом и двумя пополудни. Он заметил, что часовая и минутная стрелки часов за это время поменялись местами. Когда он ушел и когда пришел?
2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу, и каждый приехал туда, откуда выехал другой, причем один приехал через 16, а другой - через 25 часов после их встречи. Сколько часов ехал каждый автомобиль?
3. Спортсмены бегут колонной со скоростью 8 км/ч. Навстречу бежит тренер со скоростью 4 км/ч. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, бежит назад со скоростью 6 км/ч. Во сколько раз изменится длина колонны, когда все спортсмены развернутся?
4. Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 минуту. Если человек будет идти вниз вдвое быстрее, то он спустится за 45 секунд. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?
5. Человек, идущий по шоссе, заметил, что через каждые 15 минут его обгонял автобус, а через каждые 10 минут он встречал автобуc. Считая, что автобусы с равными интервалами идут в обоих направлениях, найдите интервалы времени, с которыми
пройдут в одну сторону два автобуса мимо неподвижного наблюдателя.
6. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге в одном направлении, оказываются рядом через каждый час. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются каждые полчаса. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?
Problem 28. Four straight lines
Into how many parts can the plane be divided by four different straight lines? Give an example for each possible case.
Математическая смесь (6-8 классы)
Ноябрь-декабрь 2007, 6-8 классы
1. Я отпил 1/6 чашки кофе и долил её молоком. Затем я выпил 1/3 чашки и долил её молоком. Потом я выпил полчашки и опять долил её молоком. Наконец, я выпил полную чашку. Чего я выпил больше: кофе или молока? Может ли ответ измениться, если перемешивать (после того, как долито молоко) не очень тщательно?
2. От моста поплыли пловец против течения и мяч по течению. Через 20 минут пловец вспомнил о мяче, повернул обратно и догнал его в 2 км от моста. Какова скорость течения?
3. Цифры четырёхзначного числа записали в обратном порядке и полученное число сложили с исходным. Могло ли получиться число из одних девяток? Тот же вопрос для пятизначного числа.
4. Купец продал кафтан за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел, а сосед приходит и говорит: "Бумажка фальшивая". Пришлось купцу дать соседу настоящую. Что потерял купец?
5. По кругу расставлены цифры 1, 2, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Найдите сумму всех девяти таких трехзначных чисел. Зависит ли она от порядка, в котором расставлены цифры?
6. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2006 или с периметром 2008? Прямоугольники AxB и BxA считаются одинаковыми.
7. Петя загадал одно из трех чисел 1, 2 и 3. Какой вопрос, допускающий ответы "да", "нет" и "не знаю", нужно задать, чтобы определить задуманное число? Петя всегда говорит правду.
8. В первый год работы музея его посетило 250000 человек. В последующие годы число посетителей увеличивалось на 8% ежегодно. Всего было напечатано 2 миллиона входных билетов. Хватит ли их на первые 10 лет работы музея?
9. Может ли в таблице 4x4 сумма чисел в любой строке быть чётным числом, а в любом столбце - нечётным? Тот же вопрос для таблицы 3x5.
10. Может ли работа фирмы за любые пять подряд идущих месяцев быть прибыльной, а по итогам года - убыточной? Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?
11. Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому. (а) Сколько дней ему удастся это делать? (б) Сколько блюд он съест за это время?
12. Дан лист клетчатой бумаги. Как с помощью карандаша и линейки нарисовать квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки?
13. В треугольнике отметили середины двух сторон. С помощью только карандаша и односторонней линейки без делений найдите середину третьей стороны.
14. У числа 100!=1*2*...*99*100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и т.д., пока не получили число из одной цифры. Что это за число?
15. Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?
16. У многогранника n граней, и все они - треугольники. Сколько у него рёбер?
17. В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?
18. Верно ли, что в записи числа 21000 больше 500 цифр?
19. Кассир считает деньги так: сначала он считает все купюры независимо от их достоинства, потом считает еще раз купюры достоинством больше 1 рубля, затем прибавляет число купюр достоинством больше 2 рублей и т.д. Почему у него получается правильный ответ?
20. В первом году нашей эры блоха отправилась из Иерусалима в Москву. Первый её прыжок был длиной 1 м, второй - через 1 сек - 1/2 метра, третий - ещё через 1 сек - 1/3 метра и т.д. (прыжки следовали через 1 сек, и длина n-го прыжка была 1/n метра). Добралась ли она до Москвы к настоящему времени?
Математическая смесь (4-6 классы)
Ноябрь 2007, 4-6 классы
1. Кот в Сапогах поймал четыре щуки и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?
2. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 15 м канавы?
3. За 7 дней слониха со слоненком съедает 35 ведер корма. А за 10 дней слониха с двумя слонятами съедает 60 ведер такого же корма. Сколько ведер корма съедает слониха в день и сколько слоненок?
4. Внутренние покои дворца султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10x10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь, а если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Сколько окон и дверей в покоях султана?
5. Найдите сумму цифр суммы цифр чисел 258540 и 695. Найти частное 258540 и 695 и сумму цифр его суммы цифр. Опишите наблюдения.
6. У отца было 3 сына. Он оставил по завещанию старшему сыну половину своих золотых монет и еще полмонеты, среднему сыну половину остатка и еще полмонеты, и младшему половину того, что осталось после выдачи наследства старшим сыновьям, и еще полмонеты. Каждый сын получил целое число монет, и все монеты оказались розданными. Сколько было монет?
7. Учитель написал на листке бумаги число 20. Пятнадцать школьников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу -- как хочет. Может ли в результате получиться число 10?
8. У шахматной доски размером 8x8 вырезали левую верхнюю и правую нижнюю угловые клетки. Можно ли замостить оставшуюся часть доски косточками домино размером 1x2?
9. На перемене в школьной столовой выстроилась очередь за булочками. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди первоначально?
10. Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа вместе съели 70 бананов, причём каждому сколько-то досталось. Винни-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику?
11. В коробке лежат красные и синие карандаши. Сколько карандашей нужно вынуть из коробки в темноте, чтобы среди них обязательно было бы три одного цвета?
12. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. Наследство состояло из трех одинаковых домов. Дома взяли три старших брата, а младшим братьям они выделили деньги, каждый из трех старших братьев заплатил 1000 рублей. Эти деньги младшие братья разделили между собой. Сколько стоил один дом? (Задача Л.Н.Толстого)
13. Представьте число 2007 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих слагаемых тоже равнялось 2007.
14. Сколько существует шестизначных номеров с суммой цифр, равной 2?
15. Имеется 2007 гирь массой 1 г. 2 г, 3 г, ..., 2007 г. Можно ли их разложить на две равные по массе группы? А на три?
Это избранные задачи математических кружков МЦНМО, несколько из них модифицированы, некоторые имеют достаточно древнюю историю.
Problem 27. Three piggy banks
One millionaire has three piggy banks. In the first one he keeps just 20$ bills, in the second one he keeps just 10$ bills and in the last one he keeps only 5$ bills. There is the same number of bills in each of the three banks. How much money are there in each one of them if there is 1400$ in all of them together?
Alpha 5 - 12 Nov 07
1. How many diagonals does a convex 12-gon have?
2. Divide a square into rectangles using segments of lines so that no two rectangles together would form a bigger rectangle.
3. How many 6-digit numbers such that all their digits are odd are there?
4. Suppose you have a square with side of length 1. Is it possible to place inside it a number of disjoint circles the sum of radii of which is more than 100?
5. Serge had 7 potatoes, Paul had 5 and Nick none. They boiled all 12 and shared equally. Nick gave 12 cents to Serge and Paul as his share. How should Serge and Paul divide this amount?
2. Divide a square into rectangles using segments of lines so that no two rectangles together would form a bigger rectangle.
3. How many 6-digit numbers such that all their digits are odd are there?
4. Suppose you have a square with side of length 1. Is it possible to place inside it a number of disjoint circles the sum of radii of which is more than 100?
5. Serge had 7 potatoes, Paul had 5 and Nick none. They boiled all 12 and shared equally. Nick gave 12 cents to Serge and Paul as his share. How should Serge and Paul divide this amount?
Геометрия I
Ноябрь 2007, 8-11 классы
1. Найдите сумму углов пятиконечной звезды (не обязательно правильной формы).
2. Минутная стрелка часов движется равномерно по окружности циферблата. Паук сидит в точке этой окружности и смотрит на конец стрелки. На какой угол, с его точки зрения, поворачивается конец стрелки за минуту?
3. На сторонах выпуклого четырёхугольника, как на диаметрах, построены круги. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.
4. Найдите середины оснований трапеции с помощью одной линейки.
5. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Пользуясь одной линейкой, удвойте его.
6. Из точки на основании равнобедренного треугольника опущены перпендикуляры на его боковые стороны. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров одинакова для всех точек основания.
7. В лесу проложено замкнутое шоссе, ограничивающее прямоугольник со сторонами 5 и 7 км. Нарисуйте, где турист может поставить палатку, если он хочет, чтобы расстояние от неё до любой точки шоссе было не меньше 1 км. Палатку можно ставить как внутри, так и снаружи шоссе.
8. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника (точке пересечения высот) относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
9. Внутри окружности с центром O находится точка A, отличная от O. Укажите на окружности точку X так, чтобы угол AXO был наибольшим.
10. На плоскости даны две прямые. Найдите множество точек, для которых расстояния до одной и другой прямой отличаются ровно на 1 (в ту или иную сторону).
11. Можно ли на плоскости разместить несколько парабол так, чтобы их внутренние области покрывали всю плоскость?
12. Коробка прямоугольной формы имеет размер 12x12x30 см. Муха сидит на торце, имеющем форму квадрата, на расстоянии 1 см к центру от середины одной из сторон. Капля меда находится в точке, симметричной мухе относительно центра коробки. Найдите длину кратчайшего пути мухи к меду по поверхности коробки. По скольким граням этот путь проходит?
Problem 26. Plus Signs
Insert plus signs between digits of the following number so that correct equality will be: 12345=33.
Example. Given: 12345=69. Solution: 1+23+45=69.
Example. Given: 12345=69. Solution: 1+23+45=69.
Alpha 4 - 22 Oct 07
1. Какое наибольшее число суббот может быть в году?
2. За каждый из девяти месяцев года поголовье овец возрастало на 25 процентов, а за каждый из трех оставшихся месяцев - на x процентов. Найдите x, если в целом за год поголовье выросло в 8 раз.
3. Автобус из A в B и обратно едет 4 часа без учета остановок. Известно, что на дороге нет ровных участков и что в гору автобус едет всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору - 30 км/ч. Найдите расстояние между A и B.
4. Дама сдает в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак, а саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем корзина и чемодан. Корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая и какая - самая легкая?
5. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
6. Можно ли расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая точка была соединена с четырьмя другими точками и отрезки не пересекались друг с другом?
7. Можно ли на прямоугольном газоне 8x15 метров проложить дорожки так, чтобы из каждой вершины прямоугольника можно было пройти по ним в любую другую вершину, а общая длина дорожек не превышала бы 30 метров?
8. Найдите, для каких целых n число 4n4+1 - простое.
9. Может ли быть так, что каждое из трех чисел равно квадрату разности двух других? Если да, то найдите все такие тройки чисел.
10. Три прямые пересекаются в одной точке так, что каждые две из них образуют угол 60 градусов. Точка находится на расстоянии 3 см от одной прямой и 5 см от другой. На каком расстоянии от третьей прямой она может находиться?
2. За каждый из девяти месяцев года поголовье овец возрастало на 25 процентов, а за каждый из трех оставшихся месяцев - на x процентов. Найдите x, если в целом за год поголовье выросло в 8 раз.
3. Автобус из A в B и обратно едет 4 часа без учета остановок. Известно, что на дороге нет ровных участков и что в гору автобус едет всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору - 30 км/ч. Найдите расстояние между A и B.
4. Дама сдает в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак, а саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем корзина и чемодан. Корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая и какая - самая легкая?
5. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
6. Можно ли расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая точка была соединена с четырьмя другими точками и отрезки не пересекались друг с другом?
7. Можно ли на прямоугольном газоне 8x15 метров проложить дорожки так, чтобы из каждой вершины прямоугольника можно было пройти по ним в любую другую вершину, а общая длина дорожек не превышала бы 30 метров?
8. Найдите, для каких целых n число 4n4+1 - простое.
9. Может ли быть так, что каждое из трех чисел равно квадрату разности двух других? Если да, то найдите все такие тройки чисел.
10. Три прямые пересекаются в одной точке так, что каждые две из них образуют угол 60 градусов. Точка находится на расстоянии 3 см от одной прямой и 5 см от другой. На каком расстоянии от третьей прямой она может находиться?
Alpha 3 - 15 Oct 07
1. Среди математиков каждый седьмой - шахматист, а среди шахматистов каждый девятый - математик. Кого больше, математиков или шахматистов, и почему?
2. В кружке, где занимается Аня, более 70% участников - мальчики. Какое наименьшее число детей может быть в этом кружке?
3. Из одной заготовки можно сделать одну деталь, а из стружек от 6 заготовок можно изготовить целую заготовку. Сколько деталей можно получить из 300 заготовок?
4. Расстояние между деревнями A и B равно 3 км. В деревне A живет 50 школьников, а в деревне B - 100 школьников. На каком расстоянии от деревни A нужно построить школу, чтобы общее расстояние, проходимое всеми 150 школьниками, было наименьшим?
5. Сколькими способами можно покрыть прямоугольную пластинку размером 2x12 см прямоугольными плитками размером 1x2 см? Плитки разрешается укладывать так, чтобы они не перекрывались и чтобы целиком помещались на пластинке.
6. В выражении (х+1)(х+2)...(х+10) раскрыты скобки и приведены подобные члены. Найдите коэффициент при х9.
7. В стране Серобуромалинии живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона двух разных цветов, они одновременно меняют цвет на третий (например, серый и бурый становятся малиновыми). Могут ли все хамелеоны стать одновременно одного цвета?
8. Человек прошел 10 км на юг, затем 10 км на восток, а потом 10 км на север и оказался там, откуда вышел. Где на Земном шаре находятся точки, из которых можно совершить такое путешествие?
9. Можно ли указать внутри треугольника со сторонами 3, 4 и 5 см точку, расстояние от которой до каждой из его сторон меньше 1 см?
10. На сколько частей делят пространство четыре плоскости ABC, ABD, ACD, BCD, являющиеся гранями пирамиды ABCD?
2. В кружке, где занимается Аня, более 70% участников - мальчики. Какое наименьшее число детей может быть в этом кружке?
3. Из одной заготовки можно сделать одну деталь, а из стружек от 6 заготовок можно изготовить целую заготовку. Сколько деталей можно получить из 300 заготовок?
4. Расстояние между деревнями A и B равно 3 км. В деревне A живет 50 школьников, а в деревне B - 100 школьников. На каком расстоянии от деревни A нужно построить школу, чтобы общее расстояние, проходимое всеми 150 школьниками, было наименьшим?
5. Сколькими способами можно покрыть прямоугольную пластинку размером 2x12 см прямоугольными плитками размером 1x2 см? Плитки разрешается укладывать так, чтобы они не перекрывались и чтобы целиком помещались на пластинке.
6. В выражении (х+1)(х+2)...(х+10) раскрыты скобки и приведены подобные члены. Найдите коэффициент при х9.
7. В стране Серобуромалинии живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона двух разных цветов, они одновременно меняют цвет на третий (например, серый и бурый становятся малиновыми). Могут ли все хамелеоны стать одновременно одного цвета?
8. Человек прошел 10 км на юг, затем 10 км на восток, а потом 10 км на север и оказался там, откуда вышел. Где на Земном шаре находятся точки, из которых можно совершить такое путешествие?
9. Можно ли указать внутри треугольника со сторонами 3, 4 и 5 см точку, расстояние от которой до каждой из его сторон меньше 1 см?
10. На сколько частей делят пространство четыре плоскости ABC, ABD, ACD, BCD, являющиеся гранями пирамиды ABCD?
Alpha 2 - 8 Oct 07
1. В семье у каждого мальчика поровну братьев и сестер, а у каждой девочки братьев в два раза больше, чем сестер. Сколько детей в семье?
2. К какому трехзначному числу можно приписать такие три цифры слева, что получится его квадрат?
3. При делении числа n на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 в остатке получается 2. Какой остаток получится при делении числа n на 6?
4. У арбуза диаметром 20 см корка имеет толщину 1 см. Какая часть арбуза приходится на корку?
5. Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
6. Из A в B вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через некоторое время из A вышел другой пешеход, а еще через такой же промежуток времени после второго - третий. Третий пешеход догнал второго на полпути от A к B, и дальше они пошли вместе со скоростью, равной среднему арифметическому их прежних скоростей. Все трое одновременно пришли в B. С какой скоростью шел первоначально второй пешеход, если третий шел первоначально со скоростью 6 км/ч?
7. Из 20 плиток, имеющих вид прямоугольного треугольника, один катет которого вдвое больше другого, сложите квадрат.
8. Стороны выпуклого многоугольника периметра 10 см отодвигаются каждая на 1 см. Докажите, что площадь многоугольника увеличится больше, чем на 13 см2.
9. Найдите число х, если известно, что из следующих трех утверждений: (а) х - целое число; (б) x2-3х - целое отрицательное число; (в) х+1/x - целое положительное число - одно неверное.
10. Найдите десять чисел a1, a2, a3,..., a10 так, чтобы выполнялись условия a1\le a2\le a3 \le ... \le a10 и a12+a22+a32+...+a102=1, и чтобы при этом число a3 было как можно больше (здесь \le - меньше или равно).
2. К какому трехзначному числу можно приписать такие три цифры слева, что получится его квадрат?
3. При делении числа n на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 в остатке получается 2. Какой остаток получится при делении числа n на 6?
4. У арбуза диаметром 20 см корка имеет толщину 1 см. Какая часть арбуза приходится на корку?
5. Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
6. Из A в B вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через некоторое время из A вышел другой пешеход, а еще через такой же промежуток времени после второго - третий. Третий пешеход догнал второго на полпути от A к B, и дальше они пошли вместе со скоростью, равной среднему арифметическому их прежних скоростей. Все трое одновременно пришли в B. С какой скоростью шел первоначально второй пешеход, если третий шел первоначально со скоростью 6 км/ч?
7. Из 20 плиток, имеющих вид прямоугольного треугольника, один катет которого вдвое больше другого, сложите квадрат.
8. Стороны выпуклого многоугольника периметра 10 см отодвигаются каждая на 1 см. Докажите, что площадь многоугольника увеличится больше, чем на 13 см2.
9. Найдите число х, если известно, что из следующих трех утверждений: (а) х - целое число; (б) x2-3х - целое отрицательное число; (в) х+1/x - целое положительное число - одно неверное.
10. Найдите десять чисел a1, a2, a3,..., a10 так, чтобы выполнялись условия a1\le a2\le a3 \le ... \le a10 и a12+a22+a32+...+a102=1, и чтобы при этом число a3 было как можно больше (здесь \le - меньше или равно).
Alpha 1 - 1 Oct 07
Здесь задачи для 5-11 классов. Выберите для решения несколько задач, наиболее подходящих по возрасту.
1. Отец в 3 раза старше сына. 5 лет назад он был в 4 раза старше сына. Сколько лет отцу?
2. Два катера отплывают в условленное время от пристаней A и B, встречаются, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если они отплывают от своих пристаней одновременно, то катер, выходящий из A, тратит на путь в оба конца 3 часа, а второй катер - 1,5 часа. Скорости катеров относительно воды одинаковы. На сколько позже должен отплыть катер из A после отплытия катера из B, чтобы они находились в пути одно и то же время?
3. Пакет молока имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами 10 см, 5 см и 4 см. Муха сидит в углу пакета и хочет переползти в дальний угол. Какова длина самого короткого пути мухи?
4. Плитку размером 73x19 обвели карандашом на бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника, имея только эту плитку и карандаш.
5. Нарисуйте на клетчатой бумаге, где находятся точки, расстояние от которых до ближайшей горизонтальной линии на бумаге больше, чем до ближайшей вертикальной.
6. Разделим каждое четырехзначное число на сумму его цифр. Kакой самый большой результат может при этом получиться?
7. Решите уравнение (x2-1)2 = 4x+1.
8. Основания трапеции равны a и b, сумма углов при ее основании a равна 90 градусам. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.
9. Две стороны треугольника равны 2 и 3. Какую длину должна иметь третья сторона, чтобы самый большой угол треугольника был как можно меньше?
10. Для каких значений a разность корней уравнения ax2+x-2=0 равна 3?
1. Отец в 3 раза старше сына. 5 лет назад он был в 4 раза старше сына. Сколько лет отцу?
2. Два катера отплывают в условленное время от пристаней A и B, встречаются, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если они отплывают от своих пристаней одновременно, то катер, выходящий из A, тратит на путь в оба конца 3 часа, а второй катер - 1,5 часа. Скорости катеров относительно воды одинаковы. На сколько позже должен отплыть катер из A после отплытия катера из B, чтобы они находились в пути одно и то же время?
3. Пакет молока имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами 10 см, 5 см и 4 см. Муха сидит в углу пакета и хочет переползти в дальний угол. Какова длина самого короткого пути мухи?
4. Плитку размером 73x19 обвели карандашом на бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника, имея только эту плитку и карандаш.
5. Нарисуйте на клетчатой бумаге, где находятся точки, расстояние от которых до ближайшей горизонтальной линии на бумаге больше, чем до ближайшей вертикальной.
6. Разделим каждое четырехзначное число на сумму его цифр. Kакой самый большой результат может при этом получиться?
7. Решите уравнение (x2-1)2 = 4x+1.
8. Основания трапеции равны a и b, сумма углов при ее основании a равна 90 градусам. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.
9. Две стороны треугольника равны 2 и 3. Какую длину должна иметь третья сторона, чтобы самый большой угол треугольника был как можно меньше?
10. Для каких значений a разность корней уравнения ax2+x-2=0 равна 3?
Геометрическая прогрессия
Апрель 2007, 15 задач
1. Когда Буратино отправился в школу, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
2. В клетках шахматной доски записаны положительные числа. Числа в каждой строке и в каждом столбце образуют геометрическую прогрессию. В угловых клетках стоят (по часовой стрелке) числа 1, 128, 16384 и снова 128. Найдите сумму всех чисел.
3. Мама с сыном едят шоколадку. Сын откусывает половину и отдает маме, мама откусывает половину остатка и передает сыну, и так далее. Какую часть шоколадки съест сын?
4. Из правильного треугольника вырезают меньший правильный треугольник, образованный средними линиями. С образовавшимися тремя правильными треугольниками поступают так же, и так далее, до бесконечности. Какая часть площади исходного треугольника останется в конце этого процесса?
5. Пух и Пятачок пошли в гости к Кролику, живущему в 2 км. Пух всё время шёл со скоростью 1 км/ч, а Пятачок - 3 км/ч, чтобы заранее проверить, дома ли Кролик. Добегая до Кролика, Пятачок мгновенно разворачивался и бежал к Пуху сказать, что тот дома, а встречая Пуха, мгновенно разворачивался и снова бежал к Кролику ещё раз удостовериться, что тот дома, и т.д., пока Пух не добрался до Кролика. Какое расстояние в общей сложности пробежит Пятачок? Какая бесконечная прогрессия при этом просуммировалась?
6*. Можно ли разбить множество натуральных чисел в объединение (а) конечного, (б) бесконечного набора попарно непересекающихся бесконечных геометрических прогрессий?
Problem 25. Work together
If it takes Anne 2 hours to paint a room and it takes Bob 3 hours, how long will it take if they work together yet independently?
Problem 24. Grasshopper
A grasshopper makes 25 jumps along the straight line in either direction. The length of the first jump is 1 cm, of the second jump - 2 cm, then 3 cm, etc. Can the grasshopper end up in the same point it started from?
Alpha 7
1. Аня и Боря едят шоколадку. Аня откусывает половину и передает Боре, затем Боря откусывает половину остатка и передает Ане, и так далее. Какую часть шоколадки съест Аня и какую - Боря?
2. В строчку записано пять чисел, причем каждое следующее на 3 больше предыдущего. Сумма всех чисел равна 7. Найдите эти числа.
3. Площадь поверхности первого куба на 21% больше площади поверхности второго. На сколько процентов объем первого куба больше объема второго?
4. Аня набирает страницу текста в среднем за 6 минут, а Боря - за 10 минут. В какой пропорции им нужно распределить между собой листы рукописи, чтобы справиться с ее набором за кратчайшее время?
5. Путник вышел из села в город в 4 часа утра, проходя в час 3,75 версты. В 7 часов утра выехала почтовая тройка из того же села, которая проезжает в час 6 верст. В котором часу почтовая тройка догонит путника и на каком расстоянии от села?
6. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. На сколько нужно увеличить скорость автомобиля, чтобы проезжать километр пути на полминуты быстрее?
7. По шоссе со скоростью 80 км/ч движется вереница машин. Расстояние между идущими друг за другом машинами равно примерно 15 м, а средняя длина машины составляет 5 м. Можно ли в целях безопасности движения потребовать, чтобы на мосту машины снижали скорость до 20 км/ч?
2. В строчку записано пять чисел, причем каждое следующее на 3 больше предыдущего. Сумма всех чисел равна 7. Найдите эти числа.
3. Площадь поверхности первого куба на 21% больше площади поверхности второго. На сколько процентов объем первого куба больше объема второго?
4. Аня набирает страницу текста в среднем за 6 минут, а Боря - за 10 минут. В какой пропорции им нужно распределить между собой листы рукописи, чтобы справиться с ее набором за кратчайшее время?
5. Путник вышел из села в город в 4 часа утра, проходя в час 3,75 версты. В 7 часов утра выехала почтовая тройка из того же села, которая проезжает в час 6 верст. В котором часу почтовая тройка догонит путника и на каком расстоянии от села?
6. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. На сколько нужно увеличить скорость автомобиля, чтобы проезжать километр пути на полминуты быстрее?
7. По шоссе со скоростью 80 км/ч движется вереница машин. Расстояние между идущими друг за другом машинами равно примерно 15 м, а средняя длина машины составляет 5 м. Можно ли в целях безопасности движения потребовать, чтобы на мосту машины снижали скорость до 20 км/ч?
Problem 23. The difference of two squares
Show that any odd number can be expressed as the difference of two squares, where each square is an integer squared.
Problem 22. The Daughters' Ages
A census taker came to a house where a farmer lived with three daughters. "What are your daughters' ages?" he asked. The man replied, "The product of their ages is 72, and the sum of their ages is my house number." "But that's not enough information," the census taker insisted. "All right," answered the farmer, "the oldest loves chocolate". What are the daughters' ages?
Alpha 6
1. За два дня запас конфеток уменьшился на 51%, при этом каждый день он уменьшался на одно и то же число процентов. На какое?
2. Докажите, что если n не делится ни на 2, ни на 3, то n2-1 делится на 24.
3. Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного - за 17 минут. Аня открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1.5 раза больше, чем холодной?
4. Найдите такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знаменателю 40. Имеются ли еще такие дроби?
5. Докажите, что
6. На столе стоят 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?
7. Имеется 68 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
2. Докажите, что если n не делится ни на 2, ни на 3, то n2-1 делится на 24.
3. Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного - за 17 минут. Аня открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1.5 раза больше, чем холодной?
4. Найдите такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знаменателю 40. Имеются ли еще такие дроби?
5. Докажите, что
(1/2)-(1/3)+(1/4)-(1/5)+...+(1/98)-(1/99)+(1/100) > 1/5.
6. На столе стоят 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?
7. Имеется 68 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
Арифметическая прогрессия
Март 2007, 24 задачи
Полностью опубликовано 28 февраля в списке рассылки MathSheets, здесь же выбраны задачи для желающих учиться в 2007-08 учебном году. Решения, как обычно, принимаются в последние 3 дня месяца.
1*. Нетрудно составить арифметическую прогрессию из трех разных чисел вида 1/n, где n - целое: 1/2, 1/3, 1/6. А существует ли такая прогрессия (a) из 4 чисел; (b) из 5 чисел?
2*. При каком наименьшем n cумма 1 + 2 + 3 + ... + n заканчивается на два нуля? А на три нуля?
3*. Найдите все группы из двух или более последовательных натуральных чисел с суммой 100.
Problem 21. Ice Cream and Rolls
6 scoops of Ice Cream are more expensive than 10 rolls, but cheaper than 5 chocolate bars. However 10 scoops of Ice Cream are more expensive than 8 chocolate bars. What is more expensive: 2 scoops of Ice Cream or 3 rolls?
Problem 20. Prime numbers
Put 5 prime numbers in a sequence in such a way that differences between any two neighbours would be the same (one can assume that difference = right_neighbour - left_neighbour).
Alpha 5
1. В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
2. Даны 5 чисел. Известно, что сумма любых трех из них положительна. Верно ли, что сумма всех 5 чисел положительна? А если вместо 5 чисел будет 100 чисел?
3. Девять одинаковых открыток стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких же открыток стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна открытка?
4. Давным-давно были бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек и весили они соответственно 1, 2, 3 и 5 граммов. На аукцион принесли четыре монеты, по одной каждого номинала, и сказали, что одна из них фальшивая - отличается от настоящей по весу. Как эксперту определить фальшивую монету с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
5. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное следующих трех?
6. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько имеется однозначных и сколько двузначных замечательных чисел? Чему равна сумма цифр 100-го замечательного числа?
7. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
2. Даны 5 чисел. Известно, что сумма любых трех из них положительна. Верно ли, что сумма всех 5 чисел положительна? А если вместо 5 чисел будет 100 чисел?
3. Девять одинаковых открыток стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких же открыток стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна открытка?
4. Давным-давно были бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек и весили они соответственно 1, 2, 3 и 5 граммов. На аукцион принесли четыре монеты, по одной каждого номинала, и сказали, что одна из них фальшивая - отличается от настоящей по весу. Как эксперту определить фальшивую монету с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
5. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное следующих трех?
6. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько имеется однозначных и сколько двузначных замечательных чисел? Чему равна сумма цифр 100-го замечательного числа?
7. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
Problem 19. The difference
By how much is the sum of all even numbers no larger than a hundred greater than the sum of all odd numbers smaller than a hundred?
Alpha 4
1. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 5 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько в одной стопке больше тетрадей, чем в другой?
2. В классе мальчиков и девочек поровну. Учитель сказал, что он поставил за контрольную двоек на 1 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли он?
3. На сколько нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100?
4. Расположите в порядке возрастания числа: 2300, 3200, 4100.
5. В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 (точечных) дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок?
6. В колонию, состоящую из 1000 бактерий, попадает вирус. За каждую минуту каждый вирус уничтожает одну бактерию и делится пополам, а затем каждая оставшаяся бактерия делится пополам. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или в конце концов
погибнет?
7. Можно ли разрезать прямоугольник 4x9 на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат?
2. В классе мальчиков и девочек поровну. Учитель сказал, что он поставил за контрольную двоек на 1 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли он?
3. На сколько нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100?
4. Расположите в порядке возрастания числа: 2300, 3200, 4100.
5. В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 (точечных) дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок?
6. В колонию, состоящую из 1000 бактерий, попадает вирус. За каждую минуту каждый вирус уничтожает одну бактерию и делится пополам, а затем каждая оставшаяся бактерия делится пополам. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или в конце концов
погибнет?
7. Можно ли разрезать прямоугольник 4x9 на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат?
Problem 18. Pieces
Anne tears a sheet of paper into four pieces, then she tears one of the pieces into four pieces, and so on. Can she end up with 2007 pieces?
Треугольные числа
Февраль 2007, 18 задач
Игры с гномонами: вычисление сумм первых n нечетных чисел и первых n четных чисел.
Симметричные треугольники: состоящий из n полосок в 1, 3, 5, ... клеток и состоящий из n полосок в 2, 4, 6, ... клеток. Вычисление сумм первых n нечетных чисел и первых n четных чисел с помощью разрезания симметричного треугольника на части и их перекладывания.
Треугольные числа - это числа клеток в ступенчатых треугольниках: 1, 3, 6, 10, ... Ступенчатый треугольник Dn состоит из полосок длиной 1, 2, ..., n клеток и содержит Tn = 1 + 2 + ... + n клеток (это n-ое треугольное число). Разные способы получения выражения Tn через n.
Тождества, связывающие треугольные числа (8 задач).
Задача*. Отрезок длиной mn состоит из m отрезков длиной n:
Smn = Sm*Sn, где Sn = 1 + ... + 1 (n единиц).
Обобщением чисел Sn=n являются треугольные числа:Tn = S1 + S2 + ... + Sn = 1 + 2 + ... + n
(число клеток или площадь ступенчатого треугольника Dn). Из скольких ступенчатых треугольников Dn и Dn-1 состоит ступенчатый треугольник Dmn? Найдите выражение Tmn через числа Tm и Tn. Как выглядит трехмерное обобщение этой задачи?Далее идут задачи, в которых ответом являются треугольные числа Tn = 1 + 2 + ... + n.
После них обсуждается, на сколько областей делят плоскость n прямых, каждые две из которых пересекаются, но никакие три не пересекаются в одной точке. Если ответ обозначить an, то an = an-1 + n, a0 = 1, а для треугольных чисел Tn = Tn-1 + n, T0 = 0, поэтому an = Tn + 1 = n(n+1)/2 + 1.
Problem 17. Archery contest
An archery contest was held in two days. Every participant in the first day got as many points as all the other participants got in the second day. Prove that each participant got the same number of points for the whole tournament.
Problem 16. Tourists
A group of tourists was planning to cover a given distance in 5 hours. However, after the first two hours they have reduced their speed by 0.2 miles per hour and were 20 minutes late. What was their original speed?
Alpha 3
1. а) Как от куска шнура в 4 м отрезать 3 м, не имея метра? б) А как от куска шнура в 2/3 м отрезать 1/2 м, тоже не имея метра?
2. Купец нанял работника на год за 12 рублей и кафтан. Работник ушел через 9 месяцев, взяв кафтан и 8 рублей. Сколько стоил кафтан?
3. Когда сторону квадрата увеличили на 1 см, его площадь увеличилась на 101 см2. Чему равна сторона квадрата?
4. Человек прошел половину пути со скоростью 4 км/ч, а другую половину - со скоростью 6 км/ч. Какова была его средняя скорость на всем пути?
5. Земной шар по экватору опоясан веревкой. Веревку удлинили на 100 м. Сможет ли в образовавшийся зазор пролезть мышь?
6. 5 яблок, 5 груш и 1 апельсин стоят 78 рублей, а 1 яблоко, 5 груш и 5 апельсинов - 118 рублей. Сколько стоит 1 груша? Все апельсины одинаковы, все груши и все яблоки - тоже.
7. Даны шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается любые два из них изменить на 1. Можно ли, проделав это несколько раз, сделать все числа равными 0?
2. Купец нанял работника на год за 12 рублей и кафтан. Работник ушел через 9 месяцев, взяв кафтан и 8 рублей. Сколько стоил кафтан?
3. Когда сторону квадрата увеличили на 1 см, его площадь увеличилась на 101 см2. Чему равна сторона квадрата?
4. Человек прошел половину пути со скоростью 4 км/ч, а другую половину - со скоростью 6 км/ч. Какова была его средняя скорость на всем пути?
5. Земной шар по экватору опоясан веревкой. Веревку удлинили на 100 м. Сможет ли в образовавшийся зазор пролезть мышь?
6. 5 яблок, 5 груш и 1 апельсин стоят 78 рублей, а 1 яблоко, 5 груш и 5 апельсинов - 118 рублей. Сколько стоит 1 груша? Все апельсины одинаковы, все груши и все яблоки - тоже.
7. Даны шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается любые два из них изменить на 1. Можно ли, проделав это несколько раз, сделать все числа равными 0?
Problem 15. Painting
A fence consists of 20 boards. Each is to be painted in blue, green or yellow, and any two adjacent boards must have different colours. In how many ways can the fence be painted?
Alpha 2
1. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Без Мышки все остальные Репку вытащить не могут, а с ней - могут. Сколько нужно Мышек, чтобы они сами вытащили Репку?
2. Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если известно, что девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?
3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественнику встретились два островитянина, один из которых сказал: "По крайней мере один из нас лжец". Кто он? Кто второй островитянин?
4. Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1 м?
5. Какую самую большую сумму можно заплатить, имея только трешки и пятерки, в точности а) одним способом; б) двумя способами?
6. Два лыжника шли друг за другом с одинаковой скоростью 12 км/ч. Начался трудный участок, на котором скорость упала до 8 км/ч. Когда оба лыжника вошли на этот участок, расстояние между ними оказалось на 300 м меньше первоначального. Какое расстояние между лыжниками было вначале?
7. Подряд выписаны числа 2100 и 5100. Сколько всего выписано цифр?
2. Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если известно, что девочек в нем меньше 50%, но больше 40%?
3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественнику встретились два островитянина, один из которых сказал: "По крайней мере один из нас лжец". Кто он? Кто второй островитянин?
4. Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1 м?
5. Какую самую большую сумму можно заплатить, имея только трешки и пятерки, в точности а) одним способом; б) двумя способами?
6. Два лыжника шли друг за другом с одинаковой скоростью 12 км/ч. Начался трудный участок, на котором скорость упала до 8 км/ч. Когда оба лыжника вошли на этот участок, расстояние между ними оказалось на 300 м меньше первоначального. Какое расстояние между лыжниками было вначале?
7. Подряд выписаны числа 2100 и 5100. Сколько всего выписано цифр?
Subscribe to:
Posts (Atom)