Problem 20. Prime numbers
Put 5 prime numbers in a sequence in such a way that differences between any two neighbours would be the same (one can assume that difference = right_neighbour - left_neighbour).
Alpha 5
1. В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
2. Даны 5 чисел. Известно, что сумма любых трех из них положительна. Верно ли, что сумма всех 5 чисел положительна? А если вместо 5 чисел будет 100 чисел?
3. Девять одинаковых открыток стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких же открыток стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна открытка?
4. Давным-давно были бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек и весили они соответственно 1, 2, 3 и 5 граммов. На аукцион принесли четыре монеты, по одной каждого номинала, и сказали, что одна из них фальшивая - отличается от настоящей по весу. Как эксперту определить фальшивую монету с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
5. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное следующих трех?
6. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько имеется однозначных и сколько двузначных замечательных чисел? Чему равна сумма цифр 100-го замечательного числа?
7. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
2. Даны 5 чисел. Известно, что сумма любых трех из них положительна. Верно ли, что сумма всех 5 чисел положительна? А если вместо 5 чисел будет 100 чисел?
3. Девять одинаковых открыток стоят 11 рублей с копейками, а тринадцать таких же открыток стоят 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна открытка?
4. Давным-давно были бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек и весили они соответственно 1, 2, 3 и 5 граммов. На аукцион принесли четыре монеты, по одной каждого номинала, и сказали, что одна из них фальшивая - отличается от настоящей по весу. Как эксперту определить фальшивую монету с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
5. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное следующих трех?
6. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько имеется однозначных и сколько двузначных замечательных чисел? Чему равна сумма цифр 100-го замечательного числа?
7. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?
Problem 19. The difference
By how much is the sum of all even numbers no larger than a hundred greater than the sum of all odd numbers smaller than a hundred?
Alpha 4
1. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 5 штук, то тетрадей в стопках будет поровну. На сколько в одной стопке больше тетрадей, чем в другой?
2. В классе мальчиков и девочек поровну. Учитель сказал, что он поставил за контрольную двоек на 1 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли он?
3. На сколько нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100?
4. Расположите в порядке возрастания числа: 2300, 3200, 4100.
5. В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 (точечных) дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок?
6. В колонию, состоящую из 1000 бактерий, попадает вирус. За каждую минуту каждый вирус уничтожает одну бактерию и делится пополам, а затем каждая оставшаяся бактерия делится пополам. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или в конце концов
погибнет?
7. Можно ли разрезать прямоугольник 4x9 на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат?
2. В классе мальчиков и девочек поровну. Учитель сказал, что он поставил за контрольную двоек на 1 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли он?
3. На сколько нулей оканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 100?
4. Расположите в порядке возрастания числа: 2300, 3200, 4100.
5. В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 (точечных) дырок. Всегда ли можно вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок?
6. В колонию, состоящую из 1000 бактерий, попадает вирус. За каждую минуту каждый вирус уничтожает одну бактерию и делится пополам, а затем каждая оставшаяся бактерия делится пополам. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или в конце концов
погибнет?
7. Можно ли разрезать прямоугольник 4x9 на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат?
Problem 18. Pieces
Anne tears a sheet of paper into four pieces, then she tears one of the pieces into four pieces, and so on. Can she end up with 2007 pieces?
Треугольные числа
Февраль 2007, 18 задач
Игры с гномонами: вычисление сумм первых n нечетных чисел и первых n четных чисел.
Симметричные треугольники: состоящий из n полосок в 1, 3, 5, ... клеток и состоящий из n полосок в 2, 4, 6, ... клеток. Вычисление сумм первых n нечетных чисел и первых n четных чисел с помощью разрезания симметричного треугольника на части и их перекладывания.
Треугольные числа - это числа клеток в ступенчатых треугольниках: 1, 3, 6, 10, ... Ступенчатый треугольник Dn состоит из полосок длиной 1, 2, ..., n клеток и содержит Tn = 1 + 2 + ... + n клеток (это n-ое треугольное число). Разные способы получения выражения Tn через n.
Тождества, связывающие треугольные числа (8 задач).
Задача*. Отрезок длиной mn состоит из m отрезков длиной n:
Smn = Sm*Sn, где Sn = 1 + ... + 1 (n единиц).
Обобщением чисел Sn=n являются треугольные числа:Tn = S1 + S2 + ... + Sn = 1 + 2 + ... + n
(число клеток или площадь ступенчатого треугольника Dn). Из скольких ступенчатых треугольников Dn и Dn-1 состоит ступенчатый треугольник Dmn? Найдите выражение Tmn через числа Tm и Tn. Как выглядит трехмерное обобщение этой задачи?Далее идут задачи, в которых ответом являются треугольные числа Tn = 1 + 2 + ... + n.
После них обсуждается, на сколько областей делят плоскость n прямых, каждые две из которых пересекаются, но никакие три не пересекаются в одной точке. Если ответ обозначить an, то an = an-1 + n, a0 = 1, а для треугольных чисел Tn = Tn-1 + n, T0 = 0, поэтому an = Tn + 1 = n(n+1)/2 + 1.
Problem 17. Archery contest
An archery contest was held in two days. Every participant in the first day got as many points as all the other participants got in the second day. Prove that each participant got the same number of points for the whole tournament.
Subscribe to:
Posts (Atom)