Февраль 2007, 18 задач
Игры с гномонами: вычисление сумм первых n нечетных чисел и первых n четных чисел.
Симметричные треугольники: состоящий из n полосок в 1, 3, 5, ... клеток и состоящий из n полосок в 2, 4, 6, ... клеток. Вычисление сумм первых n нечетных чисел и первых n четных чисел с помощью разрезания симметричного треугольника на части и их перекладывания.
Треугольные числа - это числа клеток в ступенчатых треугольниках: 1, 3, 6, 10, ... Ступенчатый треугольник Dn состоит из полосок длиной 1, 2, ..., n клеток и содержит Tn = 1 + 2 + ... + n клеток (это n-ое треугольное число). Разные способы получения выражения Tn через n.
Тождества, связывающие треугольные числа (8 задач).
Задача*. Отрезок длиной mn состоит из m отрезков длиной n:
Smn = Sm*Sn, где Sn = 1 + ... + 1 (n единиц).
Обобщением чисел Sn=n являются треугольные числа:Tn = S1 + S2 + ... + Sn = 1 + 2 + ... + n
(число клеток или площадь ступенчатого треугольника Dn). Из скольких ступенчатых треугольников Dn и Dn-1 состоит ступенчатый треугольник Dmn? Найдите выражение Tmn через числа Tm и Tn. Как выглядит трехмерное обобщение этой задачи?Далее идут задачи, в которых ответом являются треугольные числа Tn = 1 + 2 + ... + n.
После них обсуждается, на сколько областей делят плоскость n прямых, каждые две из которых пересекаются, но никакие три не пересекаются в одной точке. Если ответ обозначить an, то an = an-1 + n, a0 = 1, а для треугольных чисел Tn = Tn-1 + n, T0 = 0, поэтому an = Tn + 1 = n(n+1)/2 + 1.
