Геометрическая прогрессия

Апрель 2007, 15 задач

1. Когда Буратино отправился в школу, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?

2. В клетках шахматной доски записаны положительные числа. Числа в каждой строке и в каждом столбце образуют геометрическую прогрессию. В угловых клетках стоят (по часовой стрелке) числа 1, 128, 16384 и снова 128. Найдите сумму всех чисел.

3. Мама с сыном едят шоколадку. Сын откусывает половину и отдает маме, мама откусывает половину остатка и передает сыну, и так далее. Какую часть шоколадки съест сын?

4. Из правильного треугольника вырезают меньший правильный треугольник, образованный средними линиями. С образовавшимися тремя правильными треугольниками поступают так же, и так далее, до бесконечности. Какая часть площади исходного треугольника останется в конце этого процесса?

5. Пух и Пятачок пошли в гости к Кролику, живущему в 2 км. Пух всё время шёл со скоростью 1 км/ч, а Пятачок - 3 км/ч, чтобы заранее проверить, дома ли Кролик. Добегая до Кролика, Пятачок мгновенно разворачивался и бежал к Пуху сказать, что тот дома, а встречая Пуха, мгновенно разворачивался и снова бежал к Кролику ещё раз удостовериться, что тот дома, и т.д., пока Пух не добрался до Кролика. Какое расстояние в общей сложности пробежит Пятачок? Какая бесконечная прогрессия при этом просуммировалась?

6*. Можно ли разбить множество натуральных чисел в объединение (а) конечного, (б) бесконечного набора попарно непересекающихся бесконечных геометрических прогрессий?

Problem 25. Work together

If it takes Anne 2 hours to paint a room and it takes Bob 3 hours, how long will it take if they work together yet independently?

Problem 24. Grasshopper

A grasshopper makes 25 jumps along the straight line in either direction. The length of the first jump is 1 cm, of the second jump - 2 cm, then 3 cm, etc. Can the grasshopper end up in the same point it started from?

Alpha 7

1. Аня и Боря едят шоколадку. Аня откусывает половину и передает Боре, затем Боря откусывает половину остатка и передает Ане, и так далее. Какую часть шоколадки съест Аня и какую - Боря?

2. В строчку записано пять чисел, причем каждое следующее на 3 больше предыдущего. Сумма всех чисел равна 7. Найдите эти числа.

3. Площадь поверхности первого куба на 21% больше площади поверхности второго. На сколько процентов объем первого куба больше объема второго?

4. Аня набирает страницу текста в среднем за 6 минут, а Боря - за 10 минут. В какой пропорции им нужно распределить между собой листы рукописи, чтобы справиться с ее набором за кратчайшее время?

5. Путник вышел из села в город в 4 часа утра, проходя в час 3,75 версты. В 7 часов утра выехала почтовая тройка из того же села, которая проезжает в час 6 верст. В котором часу почтовая тройка догонит путника и на каком расстоянии от села?

6. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. На сколько нужно увеличить скорость автомобиля, чтобы проезжать километр пути на полминуты быстрее?

7. По шоссе со скоростью 80 км/ч движется вереница машин. Расстояние между идущими друг за другом машинами равно примерно 15 м, а средняя длина машины составляет 5 м. Можно ли в целях безопасности движения потребовать, чтобы на мосту машины снижали скорость до 20 км/ч?

Problem 23. The difference of two squares

Show that any odd number can be expressed as the difference of two squares, where each square is an integer squared.

Problem 22. The Daughters' Ages

A census taker came to a house where a farmer lived with three daughters. "What are your daughters' ages?" he asked. The man replied, "The product of their ages is 72, and the sum of their ages is my house number." "But that's not enough information," the census taker insisted. "All right," answered the farmer, "the oldest loves chocolate". What are the daughters' ages?

Alpha 6

1. За два дня запас конфеток уменьшился на 51%, при этом каждый день он уменьшался на одно и то же число процентов. На какое?

2. Докажите, что если n не делится ни на 2, ни на 3, то n²-1 делится на 24.

3. Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного - за 17 минут. Аня открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1.5 раза больше, чем холодной?

4. Найдите такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знаменателю 40. Имеются ли еще такие дроби?

5. Докажите, что

(1/2)-(1/3)+(1/4)-(1/5)+...+(1/98)-(1/99)+(1/100) > 1/5.

6. На столе стоят 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?

7. Имеется 68 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?

Арифметическая прогрессия

Март 2007, 24 задачи

Полностью опубликовано 28 февраля в списке рассылки MathSheets, здесь же выбраны задачи для желающих учиться в 2007-08 учебном году. Решения, как обычно, принимаются в последние 3 дня месяца.

1*. Нетрудно составить арифметическую прогрессию из трех разных чисел вида 1/n, где n - целое: 1/2, 1/3, 1/6. А существует ли такая прогрессия (a) из 4 чисел; (b) из 5 чисел?

2*. При каком наименьшем n cумма 1 + 2 + 3 + ... + n заканчивается на два нуля? А на три нуля?

3*. Найдите все группы из двух или более последовательных натуральных чисел с суммой 100.

Problem 21. Ice Cream and Rolls

6 scoops of Ice Cream are more expensive than 10 rolls, but cheaper than 5 chocolate bars. However 10 scoops of Ice Cream are more expensive than 8 chocolate bars. What is more expensive: 2 scoops of Ice Cream or 3 rolls?