Апрель 2007, 15 задач
1. Когда Буратино отправился в школу, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
2. В клетках шахматной доски записаны положительные числа. Числа в каждой строке и в каждом столбце образуют геометрическую прогрессию. В угловых клетках стоят (по часовой стрелке) числа 1, 128, 16384 и снова 128. Найдите сумму всех чисел.
3. Мама с сыном едят шоколадку. Сын откусывает половину и отдает маме, мама откусывает половину остатка и передает сыну, и так далее. Какую часть шоколадки съест сын?
4. Из правильного треугольника вырезают меньший правильный треугольник, образованный средними линиями. С образовавшимися тремя правильными треугольниками поступают так же, и так далее, до бесконечности. Какая часть площади исходного треугольника останется в конце этого процесса?
5. Пух и Пятачок пошли в гости к Кролику, живущему в 2 км. Пух всё время шёл со скоростью 1 км/ч, а Пятачок - 3 км/ч, чтобы заранее проверить, дома ли Кролик. Добегая до Кролика, Пятачок мгновенно разворачивался и бежал к Пуху сказать, что тот дома, а встречая Пуха, мгновенно разворачивался и снова бежал к Кролику ещё раз удостовериться, что тот дома, и т.д., пока Пух не добрался до Кролика. Какое расстояние в общей сложности пробежит Пятачок? Какая бесконечная прогрессия при этом просуммировалась?
6*. Можно ли разбить множество натуральных чисел в объединение (а) конечного, (б) бесконечного набора попарно непересекающихся бесконечных геометрических прогрессий?
