Alpha 2 - 8 Oct 07

1. В семье у каждого мальчика поровну братьев и сестер, а у каждой девочки братьев в два раза больше, чем сестер. Сколько детей в семье?

2. К какому трехзначному числу можно приписать такие три цифры слева, что получится его квадрат?

3. При делении числа n на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 в остатке получается 2. Какой остаток получится при делении числа n на 6?

4. У арбуза диаметром 20 см корка имеет толщину 1 см. Какая часть арбуза приходится на корку?

5. Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?

6. Из A в B вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через некоторое время из A вышел другой пешеход, а еще через такой же промежуток времени после второго - третий. Третий пешеход догнал второго на полпути от A к B, и дальше они пошли вместе со скоростью, равной среднему арифметическому их прежних скоростей. Все трое одновременно пришли в B. С какой скоростью шел первоначально второй пешеход, если третий шел первоначально со скоростью 6 км/ч?

7. Из 20 плиток, имеющих вид прямоугольного треугольника, один катет которого вдвое больше другого, сложите квадрат.

8. Стороны выпуклого многоугольника периметра 10 см отодвигаются каждая на 1 см. Докажите, что площадь многоугольника увеличится больше, чем на 13 см2.

9. Найдите число х, если известно, что из следующих трех утверждений: (а) х - целое число; (б) x2-3х - целое отрицательное число; (в) х+1/x - целое положительное число - одно неверное.

10. Найдите десять чисел a1, a2, a3,..., a10 так, чтобы выполнялись условия a1\le a2\le a3 \le ... \le a10 и a12+a22+a32+...+a102=1, и чтобы при этом число a3 было как можно больше (здесь \le - меньше или равно).