1. How many diagonals does a convex 12-gon have?
2. Divide a square into rectangles using segments of lines so that no two rectangles together would form a bigger rectangle.
3. How many 6-digit numbers such that all their digits are odd are there?
4. Suppose you have a square with side of length 1. Is it possible to place inside it a number of disjoint circles the sum of radii of which is more than 100?
5. Serge had 7 potatoes, Paul had 5 and Nick none. They boiled all 12 and shared equally. Nick gave 12 cents to Serge and Paul as his share. How should Serge and Paul divide this amount?
Геометрия I
Ноябрь 2007, 8-11 классы
1. Найдите сумму углов пятиконечной звезды (не обязательно правильной формы).
2. Минутная стрелка часов движется равномерно по окружности циферблата. Паук сидит в точке этой окружности и смотрит на конец стрелки. На какой угол, с его точки зрения, поворачивается конец стрелки за минуту?
3. На сторонах выпуклого четырёхугольника, как на диаметрах, построены круги. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.
4. Найдите середины оснований трапеции с помощью одной линейки.
5. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Пользуясь одной линейкой, удвойте его.
6. Из точки на основании равнобедренного треугольника опущены перпендикуляры на его боковые стороны. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров одинакова для всех точек основания.
7. В лесу проложено замкнутое шоссе, ограничивающее прямоугольник со сторонами 5 и 7 км. Нарисуйте, где турист может поставить палатку, если он хочет, чтобы расстояние от неё до любой точки шоссе было не меньше 1 км. Палатку можно ставить как внутри, так и снаружи шоссе.
8. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника (точке пересечения высот) относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
9. Внутри окружности с центром O находится точка A, отличная от O. Укажите на окружности точку X так, чтобы угол AXO был наибольшим.
10. На плоскости даны две прямые. Найдите множество точек, для которых расстояния до одной и другой прямой отличаются ровно на 1 (в ту или иную сторону).
11. Можно ли на плоскости разместить несколько парабол так, чтобы их внутренние области покрывали всю плоскость?
12. Коробка прямоугольной формы имеет размер 12x12x30 см. Муха сидит на торце, имеющем форму квадрата, на расстоянии 1 см к центру от середины одной из сторон. Капля меда находится в точке, симметричной мухе относительно центра коробки. Найдите длину кратчайшего пути мухи к меду по поверхности коробки. По скольким граням этот путь проходит?
Problem 26. Plus Signs
Insert plus signs between digits of the following number so that correct equality will be: 12345=33.
Example. Given: 12345=69. Solution: 1+23+45=69.
Example. Given: 12345=69. Solution: 1+23+45=69.
Alpha 4 - 22 Oct 07
1. Какое наибольшее число суббот может быть в году?
2. За каждый из девяти месяцев года поголовье овец возрастало на 25 процентов, а за каждый из трех оставшихся месяцев - на x процентов. Найдите x, если в целом за год поголовье выросло в 8 раз.
3. Автобус из A в B и обратно едет 4 часа без учета остановок. Известно, что на дороге нет ровных участков и что в гору автобус едет всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору - 30 км/ч. Найдите расстояние между A и B.
4. Дама сдает в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак, а саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем корзина и чемодан. Корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая и какая - самая легкая?
5. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
6. Можно ли расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая точка была соединена с четырьмя другими точками и отрезки не пересекались друг с другом?
7. Можно ли на прямоугольном газоне 8x15 метров проложить дорожки так, чтобы из каждой вершины прямоугольника можно было пройти по ним в любую другую вершину, а общая длина дорожек не превышала бы 30 метров?
8. Найдите, для каких целых n число 4n4+1 - простое.
9. Может ли быть так, что каждое из трех чисел равно квадрату разности двух других? Если да, то найдите все такие тройки чисел.
10. Три прямые пересекаются в одной точке так, что каждые две из них образуют угол 60 градусов. Точка находится на расстоянии 3 см от одной прямой и 5 см от другой. На каком расстоянии от третьей прямой она может находиться?
2. За каждый из девяти месяцев года поголовье овец возрастало на 25 процентов, а за каждый из трех оставшихся месяцев - на x процентов. Найдите x, если в целом за год поголовье выросло в 8 раз.
3. Автобус из A в B и обратно едет 4 часа без учета остановок. Известно, что на дороге нет ровных участков и что в гору автобус едет всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору - 30 км/ч. Найдите расстояние между A и B.
4. Дама сдает в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак, а саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем корзина и чемодан. Корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая и какая - самая легкая?
5. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
6. Можно ли расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая точка была соединена с четырьмя другими точками и отрезки не пересекались друг с другом?
7. Можно ли на прямоугольном газоне 8x15 метров проложить дорожки так, чтобы из каждой вершины прямоугольника можно было пройти по ним в любую другую вершину, а общая длина дорожек не превышала бы 30 метров?
8. Найдите, для каких целых n число 4n4+1 - простое.
9. Может ли быть так, что каждое из трех чисел равно квадрату разности двух других? Если да, то найдите все такие тройки чисел.
10. Три прямые пересекаются в одной точке так, что каждые две из них образуют угол 60 градусов. Точка находится на расстоянии 3 см от одной прямой и 5 см от другой. На каком расстоянии от третьей прямой она может находиться?
Alpha 3 - 15 Oct 07
1. Среди математиков каждый седьмой - шахматист, а среди шахматистов каждый девятый - математик. Кого больше, математиков или шахматистов, и почему?
2. В кружке, где занимается Аня, более 70% участников - мальчики. Какое наименьшее число детей может быть в этом кружке?
3. Из одной заготовки можно сделать одну деталь, а из стружек от 6 заготовок можно изготовить целую заготовку. Сколько деталей можно получить из 300 заготовок?
4. Расстояние между деревнями A и B равно 3 км. В деревне A живет 50 школьников, а в деревне B - 100 школьников. На каком расстоянии от деревни A нужно построить школу, чтобы общее расстояние, проходимое всеми 150 школьниками, было наименьшим?
5. Сколькими способами можно покрыть прямоугольную пластинку размером 2x12 см прямоугольными плитками размером 1x2 см? Плитки разрешается укладывать так, чтобы они не перекрывались и чтобы целиком помещались на пластинке.
6. В выражении (х+1)(х+2)...(х+10) раскрыты скобки и приведены подобные члены. Найдите коэффициент при х9.
7. В стране Серобуромалинии живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона двух разных цветов, они одновременно меняют цвет на третий (например, серый и бурый становятся малиновыми). Могут ли все хамелеоны стать одновременно одного цвета?
8. Человек прошел 10 км на юг, затем 10 км на восток, а потом 10 км на север и оказался там, откуда вышел. Где на Земном шаре находятся точки, из которых можно совершить такое путешествие?
9. Можно ли указать внутри треугольника со сторонами 3, 4 и 5 см точку, расстояние от которой до каждой из его сторон меньше 1 см?
10. На сколько частей делят пространство четыре плоскости ABC, ABD, ACD, BCD, являющиеся гранями пирамиды ABCD?
2. В кружке, где занимается Аня, более 70% участников - мальчики. Какое наименьшее число детей может быть в этом кружке?
3. Из одной заготовки можно сделать одну деталь, а из стружек от 6 заготовок можно изготовить целую заготовку. Сколько деталей можно получить из 300 заготовок?
4. Расстояние между деревнями A и B равно 3 км. В деревне A живет 50 школьников, а в деревне B - 100 школьников. На каком расстоянии от деревни A нужно построить школу, чтобы общее расстояние, проходимое всеми 150 школьниками, было наименьшим?
5. Сколькими способами можно покрыть прямоугольную пластинку размером 2x12 см прямоугольными плитками размером 1x2 см? Плитки разрешается укладывать так, чтобы они не перекрывались и чтобы целиком помещались на пластинке.
6. В выражении (х+1)(х+2)...(х+10) раскрыты скобки и приведены подобные члены. Найдите коэффициент при х9.
7. В стране Серобуромалинии живет 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона двух разных цветов, они одновременно меняют цвет на третий (например, серый и бурый становятся малиновыми). Могут ли все хамелеоны стать одновременно одного цвета?
8. Человек прошел 10 км на юг, затем 10 км на восток, а потом 10 км на север и оказался там, откуда вышел. Где на Земном шаре находятся точки, из которых можно совершить такое путешествие?
9. Можно ли указать внутри треугольника со сторонами 3, 4 и 5 см точку, расстояние от которой до каждой из его сторон меньше 1 см?
10. На сколько частей делят пространство четыре плоскости ABC, ABD, ACD, BCD, являющиеся гранями пирамиды ABCD?
Subscribe to:
Posts (Atom)