Ноябрь 2007, 8-11 классы
1. Найдите сумму углов пятиконечной звезды (не обязательно правильной формы).
2. Минутная стрелка часов движется равномерно по окружности циферблата. Паук сидит в точке этой окружности и смотрит на конец стрелки. На какой угол, с его точки зрения, поворачивается конец стрелки за минуту?
3. На сторонах выпуклого четырёхугольника, как на диаметрах, построены круги. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.
4. Найдите середины оснований трапеции с помощью одной линейки.
5. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Пользуясь одной линейкой, удвойте его.
6. Из точки на основании равнобедренного треугольника опущены перпендикуляры на его боковые стороны. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров одинакова для всех точек основания.
7. В лесу проложено замкнутое шоссе, ограничивающее прямоугольник со сторонами 5 и 7 км. Нарисуйте, где турист может поставить палатку, если он хочет, чтобы расстояние от неё до любой точки шоссе было не меньше 1 км. Палатку можно ставить как внутри, так и снаружи шоссе.
8. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника (точке пересечения высот) относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
9. Внутри окружности с центром O находится точка A, отличная от O. Укажите на окружности точку X так, чтобы угол AXO был наибольшим.
10. На плоскости даны две прямые. Найдите множество точек, для которых расстояния до одной и другой прямой отличаются ровно на 1 (в ту или иную сторону).
11. Можно ли на плоскости разместить несколько парабол так, чтобы их внутренние области покрывали всю плоскость?
12. Коробка прямоугольной формы имеет размер 12x12x30 см. Муха сидит на торце, имеющем форму квадрата, на расстоянии 1 см к центру от середины одной из сторон. Капля меда находится в точке, симметричной мухе относительно центра коробки. Найдите длину кратчайшего пути мухи к меду по поверхности коробки. По скольким граням этот путь проходит?
