Problem 31. The flight

A plane flied 300 miles south from Washington (DC), then 300 miles west, then 300 miles north and finally 300 miles east. Will the plane land to the south, north, east or west of Washington, or it will land at Washington?

Alpha 7 - 10 Dec 07

1. There is a pound of candy in three packages. The first package has by weight not less candy than the second one, and the second package has by weight not less candy than the third. What is the maximal possible amount of candy in the third package?

2. Find a and b if a - b = 5 and a/b = 5.

3. Present 12 as a sum of positive integers such that their product is maximal.

4. Place 7 points on the plane so that among any three of them at least two are at the distance of 1 from each other.

5. Paint a plane with nine colors so that any two points at the distance of 1 from each other would be of different colors.

Problem 30. Change

A cashier has only 5 cent and 10 cent coins. In how many different ways can he give 50 cents of change?

Problem 29. Is it possible to connect?

Is it possible to connect 16 points by arcs so that each point will be connected with exactly 4 other points?

Alpha 6 - 26 Nov 07

1. The cost of 5 apples, 5 pears and one orange is 78 cents, when the cost of one apple, 5 pears and 5 oranges is 1 dollar and 18 cents. What is the cost of one pear? (All oranges are alike as well as pears and apples.)

2. What is the smallest number divisible by each of the numbers 1 to 20?

3. If you multiply all integers from 1 to 100 (1 and 100 included), you will get a large number ending in a lot of zeros. Exactly how many zeros will be at the end of this number?

4. Is it possible to fill in a 5x5 table using numbers such that the sum of all them is positive, but the sum of any 4 numbers forming a 2x2 sub-table is negative?

5. There are 32 students in the Math Club. In November one of them solved 15 problems while others solved less than that. Prove that there are at least 3 students who solved equal number of problems.

Текстовые задачи

Ноябрь-декабрь 2007, 23 задачи (по материалам А.Л.Тоома)

1. Человек вышел из дому между 9 и 10 часами утра, а пришел обратно между часом и двумя пополудни. Он заметил, что часовая и минутная стрелки часов за это время поменялись местами. Когда он ушел и когда пришел?

2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу, и каждый приехал туда, откуда выехал другой, причем один приехал через 16, а другой - через 25 часов после их встречи. Сколько часов ехал каждый автомобиль?

3. Спортсмены бегут колонной со скоростью 8 км/ч. Навстречу бежит тренер со скоростью 4 км/ч. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, бежит назад со скоростью 6 км/ч. Во сколько раз изменится длина колонны, когда все спортсмены развернутся?

4. Эскалатор метро спускает идущего по нему вниз человека за 1 минуту. Если человек будет идти вниз вдвое быстрее, то он спустится за 45 секунд. Сколько времени спускается человек, стоящий на эскалаторе?

5. Человек, идущий по шоссе, заметил, что через каждые 15 минут его обгонял автобус, а через каждые 10 минут он встречал автобуc. Считая, что автобусы с равными интервалами идут в обоих направлениях, найдите интервалы времени, с которыми
пройдут в одну сторону два автобуса мимо неподвижного наблюдателя.

6. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге в одном направлении, оказываются рядом через каждый час. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются каждые полчаса. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

Problem 28. Four straight lines

Into how many parts can the plane be divided by four different straight lines? Give an example for each possible case.

Математическая смесь (6-8 классы)

Ноябрь-декабрь 2007, 6-8 классы

1. Я отпил 1/6 чашки кофе и долил её молоком. Затем я выпил 1/3 чашки и долил её молоком. Потом я выпил полчашки и опять долил её молоком. Наконец, я выпил полную чашку. Чего я выпил больше: кофе или молока? Может ли ответ измениться, если перемешивать (после того, как долито молоко) не очень тщательно?

2. От моста поплыли пловец против течения и мяч по течению. Через 20 минут пловец вспомнил о мяче, повернул обратно и догнал его в 2 км от моста. Какова скорость течения?

3. Цифры четырёхзначного числа записали в обратном порядке и полученное число сложили с исходным. Могло ли получиться число из одних девяток? Тот же вопрос для пятизначного числа.

4. Купец продал кафтан за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел, а сосед приходит и говорит: "Бумажка фальшивая". Пришлось купцу дать соседу настоящую. Что потерял купец?

5. По кругу расставлены цифры 1, 2, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Найдите сумму всех девяти таких трехзначных чисел. Зависит ли она от порядка, в котором расставлены цифры?

6. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2006 или с периметром 2008? Прямоугольники AxB и BxA считаются одинаковыми.

7. Петя загадал одно из трех чисел 1, 2 и 3. Какой вопрос, допускающий ответы "да", "нет" и "не знаю", нужно задать, чтобы определить задуманное число? Петя всегда говорит правду.

8. В первый год работы музея его посетило 250000 человек. В последующие годы число посетителей увеличивалось на 8% ежегодно. Всего было напечатано 2 миллиона входных билетов. Хватит ли их на первые 10 лет работы музея?

9. Может ли в таблице 4x4 сумма чисел в любой строке быть чётным числом, а в любом столбце - нечётным? Тот же вопрос для таблицы 3x5.

10. Может ли работа фирмы за любые пять подряд идущих месяцев быть прибыльной, а по итогам года - убыточной? Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?

11. Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому. (а) Сколько дней ему удастся это делать? (б) Сколько блюд он съест за это время?

12. Дан лист клетчатой бумаги. Как с помощью карандаша и линейки нарисовать квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки?

13. В треугольнике отметили середины двух сторон. С помощью только карандаша и односторонней линейки без делений найдите середину третьей стороны.

14. У числа 100!=1*2*...*99*100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и т.д., пока не получили число из одной цифры. Что это за число?

15. Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

16. У многогранника n граней, и все они - треугольники. Сколько у него рёбер?

17. В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?

18. Верно ли, что в записи числа 2¹⁰⁰⁰ больше 500 цифр?

19. Кассир считает деньги так: сначала он считает все купюры независимо от их достоинства, потом считает еще раз купюры достоинством больше 1 рубля, затем прибавляет число купюр достоинством больше 2 рублей и т.д. Почему у него получается правильный ответ?

20. В первом году нашей эры блоха отправилась из Иерусалима в Москву. Первый её прыжок был длиной 1 м, второй - через 1 сек - 1/2 метра, третий - ещё через 1 сек - 1/3 метра и т.д. (прыжки следовали через 1 сек, и длина n-го прыжка была 1/n метра). Добралась ли она до Москвы к настоящему времени?

Математическая смесь (4-6 классы)

Ноябрь 2007, 4-6 классы

1. Кот в Сапогах поймал четыре щуки и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?

2. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 15 м канавы?

3. За 7 дней слониха со слоненком съедает 35 ведер корма. А за 10 дней слониха с двумя слонятами съедает 60 ведер такого же корма. Сколько ведер корма съедает слониха в день и сколько слоненок?

4. Внутренние покои дворца султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10x10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь, а если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Сколько окон и дверей в покоях султана?

5. Найдите сумму цифр суммы цифр чисел 258540 и 695. Найти частное 258540 и 695 и сумму цифр его суммы цифр. Опишите наблюдения.

6. У отца было 3 сына. Он оставил по завещанию старшему сыну половину своих золотых монет и еще полмонеты, среднему сыну половину остатка и еще полмонеты, и младшему половину того, что осталось после выдачи наследства старшим сыновьям, и еще полмонеты. Каждый сын получил целое число монет, и все монеты оказались розданными. Сколько было монет?

7. Учитель написал на листке бумаги число 20. Пятнадцать школьников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу -- как хочет. Может ли в результате получиться число 10?

8. У шахматной доски размером 8x8 вырезали левую верхнюю и правую нижнюю угловые клетки. Можно ли замостить оставшуюся часть доски косточками домино размером 1x2?

9. На перемене в школьной столовой выстроилась очередь за булочками. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди первоначально?

10. Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа вместе съели 70 бананов, причём каждому сколько-то досталось. Винни-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику?

11. В коробке лежат красные и синие карандаши. Сколько карандашей нужно вынуть из коробки в темноте, чтобы среди них обязательно было бы три одного цвета?

12. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. Наследство состояло из трех одинаковых домов. Дома взяли три старших брата, а младшим братьям они выделили деньги, каждый из трех старших братьев заплатил 1000 рублей. Эти деньги младшие братья разделили между собой. Сколько стоил один дом? (Задача Л.Н.Толстого)

13. Представьте число 2007 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих слагаемых тоже равнялось 2007.

14. Сколько существует шестизначных номеров с суммой цифр, равной 2?

15. Имеется 2007 гирь массой 1 г. 2 г, 3 г, ..., 2007 г. Можно ли их разложить на две равные по массе группы? А на три?

Это избранные задачи математических кружков МЦНМО, несколько из них модифицированы, некоторые имеют достаточно древнюю историю.

Problem 27. Three piggy banks

One millionaire has three piggy banks. In the first one he keeps just 20$ bills, in the second one he keeps just 10$ bills and in the last one he keeps only 5$ bills. There is the same number of bills in each of the three banks. How much money are there in each one of them if there is 1400$ in all of them together?