Ноябрь 2007, 4-6 классы
1. Кот в Сапогах поймал четыре щуки и еще половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах?
2. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 15 м канавы?
3. За 7 дней слониха со слоненком съедает 35 ведер корма. А за 10 дней слониха с двумя слонятами съедает 60 ведер такого же корма. Сколько ведер корма съедает слониха в день и сколько слоненок?
4. Внутренние покои дворца султана состоят из 100 одинаковых квадратных комнат, расположенных в виде квадрата 10x10 комнат. Если у двух комнат есть общая стена, то в ней обязательно есть ровно одна дверь, а если стена торцевая, то в ней обязательно есть ровно одно окно. Сколько окон и дверей в покоях султана?
5. Найдите сумму цифр суммы цифр чисел 258540 и 695. Найти частное 258540 и 695 и сумму цифр его суммы цифр. Опишите наблюдения.
6. У отца было 3 сына. Он оставил по завещанию старшему сыну половину своих золотых монет и еще полмонеты, среднему сыну половину остатка и еще полмонеты, и младшему половину того, что осталось после выдачи наследства старшим сыновьям, и еще полмонеты. Каждый сын получил целое число монет, и все монеты оказались розданными. Сколько было монет?
7. Учитель написал на листке бумаги число 20. Пятнадцать школьников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу -- как хочет. Может ли в результате получиться число 10?
8. У шахматной доски размером 8x8 вырезали левую верхнюю и правую нижнюю угловые клетки. Можно ли замостить оставшуюся часть доски косточками домино размером 1x2?
9. На перемене в школьной столовой выстроилась очередь за булочками. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди первоначально?
10. Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа вместе съели 70 бананов, причём каждому сколько-то досталось. Винни-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику?
11. В коробке лежат красные и синие карандаши. Сколько карандашей нужно вынуть из коробки в темноте, чтобы среди них обязательно было бы три одного цвета?
12. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. Наследство состояло из трех одинаковых домов. Дома взяли три старших брата, а младшим братьям они выделили деньги, каждый из трех старших братьев заплатил 1000 рублей. Эти деньги младшие братья разделили между собой. Сколько стоил один дом? (Задача Л.Н.Толстого)
13. Представьте число 2007 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих слагаемых тоже равнялось 2007.
14. Сколько существует шестизначных номеров с суммой цифр, равной 2?
15. Имеется 2007 гирь массой 1 г. 2 г, 3 г, ..., 2007 г. Можно ли их разложить на две равные по массе группы? А на три?
Это избранные задачи математических кружков МЦНМО, несколько из них модифицированы, некоторые имеют достаточно древнюю историю.
