Ноябрь-декабрь 2007, 6-8 классы
1. Я отпил 1/6 чашки кофе и долил её молоком. Затем я выпил 1/3 чашки и долил её молоком. Потом я выпил полчашки и опять долил её молоком. Наконец, я выпил полную чашку. Чего я выпил больше: кофе или молока? Может ли ответ измениться, если перемешивать (после того, как долито молоко) не очень тщательно?
2. От моста поплыли пловец против течения и мяч по течению. Через 20 минут пловец вспомнил о мяче, повернул обратно и догнал его в 2 км от моста. Какова скорость течения?
3. Цифры четырёхзначного числа записали в обратном порядке и полученное число сложили с исходным. Могло ли получиться число из одних девяток? Тот же вопрос для пятизначного числа.
4. Купец продал кафтан за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел, а сосед приходит и говорит: "Бумажка фальшивая". Пришлось купцу дать соседу настоящую. Что потерял купец?
5. По кругу расставлены цифры 1, 2, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Найдите сумму всех девяти таких трехзначных чисел. Зависит ли она от порядка, в котором расставлены цифры?
6. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2006 или с периметром 2008? Прямоугольники AxB и BxA считаются одинаковыми.
7. Петя загадал одно из трех чисел 1, 2 и 3. Какой вопрос, допускающий ответы "да", "нет" и "не знаю", нужно задать, чтобы определить задуманное число? Петя всегда говорит правду.
8. В первый год работы музея его посетило 250000 человек. В последующие годы число посетителей увеличивалось на 8% ежегодно. Всего было напечатано 2 миллиона входных билетов. Хватит ли их на первые 10 лет работы музея?
9. Может ли в таблице 4x4 сумма чисел в любой строке быть чётным числом, а в любом столбце - нечётным? Тот же вопрос для таблицы 3x5.
10. Может ли работа фирмы за любые пять подряд идущих месяцев быть прибыльной, а по итогам года - убыточной? Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?
11. Меню в школьном буфете постоянно и состоит из 10 разных блюд. Чтобы разнообразить свое питание, Петя решил каждый день выбирать себе завтрак по-новому. (а) Сколько дней ему удастся это делать? (б) Сколько блюд он съест за это время?
12. Дан лист клетчатой бумаги. Как с помощью карандаша и линейки нарисовать квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки?
13. В треугольнике отметили середины двух сторон. С помощью только карандаша и односторонней линейки без делений найдите середину третьей стороны.
14. У числа 100!=1*2*...*99*100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и т.д., пока не получили число из одной цифры. Что это за число?
15. Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?
16. У многогранника n граней, и все они - треугольники. Сколько у него рёбер?
17. В честь праздника 1% солдат в полку получили новое обмундирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку?
18. Верно ли, что в записи числа 21000 больше 500 цифр?
19. Кассир считает деньги так: сначала он считает все купюры независимо от их достоинства, потом считает еще раз купюры достоинством больше 1 рубля, затем прибавляет число купюр достоинством больше 2 рублей и т.д. Почему у него получается правильный ответ?
20. В первом году нашей эры блоха отправилась из Иерусалима в Москву. Первый её прыжок был длиной 1 м, второй - через 1 сек - 1/2 метра, третий - ещё через 1 сек - 1/3 метра и т.д. (прыжки следовали через 1 сек, и длина n-го прыжка была 1/n метра). Добралась ли она до Москвы к настоящему времени?
