Задачи математического кружка

∗ Как разделить торт между тремя друзьями так, чтобы каждый считал, что он получил не меньше 1/3 всего торта?

∗ Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли быть меньше 10 сумма квадратов этих чисел?

∗ Как можно завернуть кубик с ребром 1 в квадратный кусок бумаги со стороной 3? Нарисуйте, как из квадрата со стороной 3 можно вырезать развертку поверхности куба с ребром 1.

∗ Двое играют в такую игру: перед ними на бумаге в цепочку написано несколько минусов, каждый по очереди переправляет один или два минуса на плюс, а выигрывает тот, кто переправит последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер, и как ему нужно для этого играть, если вначале написано: а) 11 минусов; б) 12 минусов?

∗ Разделите циркулем и линейкой отрезок на 4 равные части, проведя не более 6 линий (прямых, окружностей).

∗ Докажите, что в треугольнике сумма длин медиан меньше периметра, но больше трех четвертей периметра.

Это задание на декабрь 2008, полный текст и pdf-файлы для печати здесь (20 задач для 4-6 классов и 40 задач для 7-8 классов).

Тождества

∗ Докажите формулу (a+b)²=a²+2ab+b², сложив квадрат со стороной a+b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b.

∗ Напишите формулу для (a+b)³ и опишите соответствующее ей разрезание куба со стороной a+b.

∗ Докажите, что (a+b)²−(a−b)²=4ab. Как выглядит соответствующая картинка?

∗ В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы четвертей квадратов, которые указывали значения x²⁄4 для x = 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)?

∗ Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы квадратов двух других целых чисел (например, 5 хорошее, так как 5=2²+1², а 3 — нет). Докажите, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число.

Это задание на ноябрь 2008, полный текст и pdf-файлы для печати здесь (10 задач).

Олимпиадные задачи

Октябрь 2008, 20 задач

1. 6 мороженых дороже 10 булочек, но дешевле 5 шоколадок; 10 мороженых дороже 8 шоколадок. Что дороже: 2 мороженых или 3 булочки?

2. Шоколадка имеет углубления в виде трех продольных и четырех поперечных канавок, по которым ее можно разламывать. Какое минимальное количество разломов необходимо, чтобы разломать ее на кусочки, не имеющие канавок? При разломах не разрешается прикладывать отдельные куски друг к другу, так чтобы одним разломом сломать два куска.

3. На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?

4. Два колокола звонили в течение 2 минут. Удары первого колокола раздавались через каждые три секунды, а второго - через каждые 4 секунды. Сколько было слышно ударов? Сколько было двойных ударов (они слышатся как один)?

5. У Ани 2,4 кг ирисок и рычажные весы без гирь. Как ей отмерить Боре 0,75 кг ирисок?

6. Аня сложила куб со стороной 3 из 27 равных кубиков со стороной 1. Затем она подумала и сняла 8 угловых кубиков. Как изменилась от этого площадь поверхности?

7. Федоту выставили годовые оценки по 12 предметам. Оказалось, что его средний балл в этом году равен 3.5. По скольким предметам на следующий год он должен улучшить свою оценку на один балл для того, чтобы средний балл стал равен 4 ?

8. На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе?

9. Четверо ребят -- Алеша, Боря, Ваня, Гриша -- соревновались в беге. После соревнований каждого из них спросили, какое место он занял. Алеша ответил: "Я не был ни первым, ни последним". Боря ответил: "Я не был последним". Ваня ответил: "Я был первым". Гриша ответил: "Я был последним". Три из этих ответов правильные, а один неверный. Кто сказал неправду? Кто был первым?

10. Числитель и знаменатель дроби - положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель - на 10. Может ли увеличиться при этом дробь?

11. Кольцевое шоссе имеет длину 330 км. Автобус выезжает из некоторой точки этого шоссе и делает остановки через каждые 75 км, пока не остановится в точке старта. Сколько километров он проедет?

12. Найдите прямоугольник с целыми сторонами, площадь которого численно равна периметру.

13. Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?

14. Леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но запротестовали экологи. Директор леспромхоза всех успокоил, сказав: "Мы будем рубить только сосны, сейчас они составляют 99% всех деревьев, а после рубки будут составлять 98%". Какую часть леса собирается вырубить леспромхоз?

15. В доме обитают кошки и собаки. Известно, что в первом подъезде процент кошек выше, чем в третьем, а во втором - выше, чем в четвертом. Верно ли, что процент кошек в первом и втором подъездах выше, чем в третьем и в четвертом подъездах вместе?

16. Шестизначное число увеличивается в 3 раза от перестановки первой цифры в конец. Найдите все такие числа.

17. На какую цифру оканчивается число (в десятичной записи), если его квадрат оканчивается на ту же цифру? Несложно увидеть, что на 0, 1, 5 или 6. А если у числа и его квадрата должны совпадать последние две цифры? Какие возможны окончания (то есть последние две цифры)?

18. Какая последняя цифра у числа 2¹⁰⁰ (два в сотой степени)? А какая предпоследняя цифра у этого числа?

19. Дано 101 число, сумма любых двух больше 2. Докажите, что сумма всех больше 101. Постарайтесь придумать не одно объяснение.

20. Контора "Тише едешь -- дальше будешь" взялась строить дорогу длиной 100 км. План строительства таков: за первый месяц строится 1 км дороги, а затем, если к началу какого-то месяца уже готовы s км дороги, то за этот месяц строится еще 1/s км. Пусть
контора существует вечно. Построит ли она дорогу? Если да, то хватит ли для этого 1000 лет?

Это задачи, решённые в кружке CSMath несколько лет назад, преимущественно 6-классниками.

Проценты (5-7 классы)

Сентябрь 2008, 8 задач

1. Разложите 80 тетрадей на две стопки так, чтобы число тетрадей в одной из них составляло 60% числа тетрадей в другой.

2. После снижения цен на 30% свитер стоит 210 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен?

3. Произведение трех чисел равно 1000. Первые два сомножителя увеличили на 10%, а третий уменьшили на 20%. Чему равно произведение трех полученных чисел?

4. За весну Обломов сбавил в весе 25%, за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он или поправился за год?

5. Вода Тихого океана содержит 3,5% соли (по весу). Сколько пресной воды надо прибавить к 40 кг такой воды, чтобы содержание соли в смеси составило 0,5%?

6. М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?

7. В каком отношении следует смешать 6-процентный и 30-процентный растворы поваренной соли, чтобы получить 12-процентный раствор?

8. Несколько учащихся ушли из лицея и несколько пришли. В результате число учащихся уменьшилось на 10%, а доля мальчиков в лицее увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось число мальчиков?

Использованы книга А.В.Спивака "Тысяча и одна задача по математике" и задание ВЗМШ при МГУ.

Problem 47. Area

On an infinite grid, draw a square whose area is 5 times that of a square on the grid. Use a straight-edge but not a compass.

Problem 46. Ostriches and giraffes

A zoo has several ostriches and several giraffes. They have 30 eyes and 44 legs. How many ostriches and how many giraffes are in the zoo?

Problem 45. Cub with a hole

Is it possible to build a cube 3x3x3 with a hole 1x1x1 in the center using 13 bricks 1x1x2 ?

Hint. Paint bricks and cube in two colors, count number of small cubes 1x1x1 of each color.

Problem 44. Continuation of the sequence

In the following sequence 2, 6, 12, 20, 30, ... find a number standing in the 2008th place.

Problem 43. The difference of the two sums

The sum of the first 100 multiples of 4 is: 4+8+12+...+400. The sum of the first 100 multiples of 3 is: 3+6+9+...+300. What number is equal to the difference of the two sums?

Математический фольклор (5-7 классы)

Март 2008, 10 задач

1. В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились следующие числа: 1, 2, 2.8, 5, 7.5. Чему равна длина измеренной диагонали?

2. Три купчихи - Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна - сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоем 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна - 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна - 14 чашек. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

3. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков, второй - 80, третий - среднее арифметическое очков первых двух, четвертый - среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок?

4. В корзине лежат 30 грибов - рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

5. Лиса Алиса и кот Базилио - фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса - легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна из них - фальшивая. Какое минимальное количество взвешиваний на
двухчашечных весах без гирь нужно Буратино, чтобы определить, кто сделал фальшивую монету, кот Базилио или лиса Алиса? Выберите ответ из чисел 1, 2, 3, 4, 15.

6. Найдите натуральные числа m и n, если известно, что из трех следующих утверждений два истинны, а одно - ложно:

1) 4m + 9n = 135;
2) 9m + 4n = 135;
3) 6m +11n = 240.

7. Какое наибольшее простое число нельзя представить в виде суммы двух составных?

8. В обыкновенном наборе домино 28 косточек. (Каждая косточка состоит из двух полей, на каждом из которых стоит число от 0 до 6, и все косточки различны.) Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 7?

9. Пусть p и q - различные простые числа. Сколько делителей (включая единицу и само число) у числа p²q³ ?

10. Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй - 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

Использованы тренировочные задачи олимпиады поступающих на факультет математики Высшей Школы Экономики.

Problem 42. Checkerboard with removed cells

Prove that an 8x8 checkerboard with two opposite corner cells removed cannot be covered without overlapping by 1x2 dominos.

Hint. Two cells covered by a domino are of opposite colors.

Problem 41. To cut without a ruler

How can one cut off a piece of ribbon 1/2 of a yard long from the piece of ribbon 2/3 of a yard long without a ruler?

Problem 40. The last digit

What is the last digit of 7¹⁰⁰⁰ ?

Problem 39. The new average

The average of seven numbers is 6. If 1 is added to the first number, 2 is added to the second number, 3 is added to the third number and so on up to the seventh number, what is the new average?

Problem 38. Straight lines

There are 10 points on a plane and no three of them lay on the same straight line. Through each 2 points a straight line passes. How many straight lines are there?

Problem 37. Cookies

A boy ate 100 cookies in five days. Each day he ate 6 more than the day before. How many cookies did he eat on the first day?

Alpha 8 - Unsolved Problems

1. How many diagonals does a convex 12-gon have?

2. Divide a square into rectangles using segments of lines so that no two rectangles together would form a bigger rectangle.

3. Suppose you have a square with side of length 1. Is it possible to place inside it a number of disjoint circles the sum of radii of which is more than 100?

4. Present 12 as a sum of positive integers such that their product is maximal.

5. If you multiply all integers from 1 to 100 (1 and 100 included), you will get a large number ending in a lot of zeros. Exactly how many zeros will be at the end of this number?

6. Paint a plane with nine colors so that any two points at the distance of 1 from each other would be of different colors.

7. Place 7 points on the plane so that among any three of them at least two are at the distance of 1 from each other.

Problem 36. The smallest number

What is the smallest number divisible by each of the numbers 1 to 20?

Разные задачи (5-7 классы)

Февраль 2008, 12 задач

1. Когда-то почтальон Печкин мог купить на месячную зарплату 300 кг хлеба, либо 150 л молока, либо 20 кг мяса. Он покупал тогда каждый день 1 кг хлеба, 1 л молока и 0,5 кг мяса. Хватало ли ему зарплаты на 30 дней?

2. Расстояние между Волком и Зайцем 1 км. Если они побегут навстречу друг другу, то встретятся через 1 минуту, а если побегут в одну сторону, то Волк догонит зайца через 3 минуты. За какое время Заяц пробегает 1 км?

3. Четыре черные коровы и три рыжих дают за 5 дней столько же молока, сколько три черные коровы и пять рыжих дают за 4 дня. Какая корова дает больше молока в день: черная или рыжая?

4. Торговец принес на рынок мешок орехов. Первый покупатель купил один орех, второй - два ореха, третий - четыре, четвертый - восемь и т.д.: каждый следующий покупатель покупал вдвое больше орехов, чем предыдущий. Последний купил 50 кг, после чего у продавца остался один орех. Сколько килограммов орехов было у продавца в начале?

5. Аня возвращается из леса домой по дороге, длина которой 6 км. Как только Аня вышла на дорогу, её верный пес Бим пустился бежать к дому, а добежав до дома, немедленно повернул и побежал обратно к Ане; добежав до Ани, вновь побежал к дому и т.д. до тех пор, пока Аня не пришла домой. Скорости Ани и Бима были всё время постоянны по величине и равны соответственно 4 км/ч и 12 км/ч. Найдите, сколько километров пробежал Бим: а) всего; б) по направлению к дому; в) по направлению от дома.

Problem 35. The sum of all digits

What is the sum of all the digits (not the numbers) in the sequence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 999, 1000?

Problem 34. Barrels

There are 21 barrels such that 7 of them are empty, 7 are half full with orange juice and 7 are full with orange juice. One needs to load this barrels into 3 trucks so that barrels and juice are divided equally between trucks. How can he do that?

Problem 33. 100 pieces

Anne and Bob are tearing up a sheet of paper. Anne only tears a piece of paper into 3 smaller pieces while Bob only tears a piece of paper into 5 smaller pieces. After a few minutes can there be exactly 100 pieces of paper?