∗ Как разделить торт между тремя друзьями так, чтобы каждый считал, что он получил не меньше 1/3 всего торта?
∗ Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли быть меньше 10 сумма квадратов этих чисел?
∗ Как можно завернуть кубик с ребром 1 в квадратный кусок бумаги со стороной 3? Нарисуйте, как из квадрата со стороной 3 можно вырезать развертку поверхности куба с ребром 1.
∗ Двое играют в такую игру: перед ними на бумаге в цепочку написано несколько минусов, каждый по очереди переправляет один или два минуса на плюс, а выигрывает тот, кто переправит последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер, и как ему нужно для этого играть, если вначале написано: а) 11 минусов; б) 12 минусов?
∗ Разделите циркулем и линейкой отрезок на 4 равные части, проведя не более 6 линий (прямых, окружностей).
∗ Докажите, что в треугольнике сумма длин медиан меньше периметра, но больше трех четвертей периметра.
Это задание на декабрь 2008, полный текст и pdf-файлы для печати здесь (20 задач для 4-6 классов и 40 задач для 7-8 классов).
Тождества
∗ Докажите формулу (a+b)2=a2+2ab+b2, сложив квадрат со стороной a+b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b.
∗ Напишите формулу для (a+b)3 и опишите соответствующее ей разрезание куба со стороной a+b.
∗ Докажите, что (a+b)2−(a−b)2=4ab. Как выглядит соответствующая картинка?
∗ В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы четвертей квадратов, которые указывали значения x2⁄4 для x = 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)?
∗ Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы квадратов двух других целых чисел (например, 5 хорошее, так как 5=22+12, а 3 — нет). Докажите, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число.
Это задание на ноябрь 2008, полный текст и pdf-файлы для печати здесь (10 задач).
∗ Напишите формулу для (a+b)3 и опишите соответствующее ей разрезание куба со стороной a+b.
∗ Докажите, что (a+b)2−(a−b)2=4ab. Как выглядит соответствующая картинка?
∗ В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы четвертей квадратов, которые указывали значения x2⁄4 для x = 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)?
∗ Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы квадратов двух других целых чисел (например, 5 хорошее, так как 5=22+12, а 3 — нет). Докажите, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число.
Это задание на ноябрь 2008, полный текст и pdf-файлы для печати здесь (10 задач).
Subscribe to:
Posts (Atom)