∗ Докажите формулу (a+b)2=a2+2ab+b2, сложив квадрат со стороной a+b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b.
∗ Напишите формулу для (a+b)3 и опишите соответствующее ей разрезание куба со стороной a+b.
∗ Докажите, что (a+b)2−(a−b)2=4ab. Как выглядит соответствующая картинка?
∗ В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы четвертей квадратов, которые указывали значения x2⁄4 для x = 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)?
∗ Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы квадратов двух других целых чисел (например, 5 хорошее, так как 5=22+12, а 3 — нет). Докажите, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число.
Это задание на ноябрь 2008, полный текст и pdf-файлы для печати здесь (10 задач).