Геометрия I
Задание по книге А.Шеня "Геометрия": стр. 1–30, контрольные задачи 11, 33, 36, 47, 56, 58, 77, 78, 86, 88, 98 — повторение прошлогоднего.
Алгебра
Задание по книге "Алгебра" И.М.Гельфанда и А.Х.Шеня: параграфы с 1 по 33, контрольные задачи 10, 21, 22, 23, 40, 41, 44, 49, 57, 57, 64, 74, 76,77,79, 92, 92, 94, 112,120, 124, 132, 133, 134, 135 по изданию 1998 г.
Разные задачи
1. От моста поплыли пловец против течения и мяч по течению. Через 20 минут пловец вспомнил о мяче, повернул обратно и догнал его в 2 км от моста. Какова скорость течения?
2. Две деревни расположены на одном берегу реки. Как нужно проложить дорогу из одной деревни в другую, чтобы она заходила на берег реки и имела наименьшую длину?
3. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 120.
4. Докажите, что длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра.
5. Можно ли число 10 представить в виде разности квадратов двух целых чисел? А число 12? Если можно, укажите все возможные представления, а если нельзя, то докажите это.
6. Найдите сумму углов пятиконечной звезды (не обязательно правильной формы).
7. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?
8. Петя загадал одно из трех чисел 1, 2 и 3. Какой вопрос, допускающий ответы да, нет и не знаю, нужно задать, чтобы определить задуманное число? Петя всегда говорит правду.
9. У многогранника n граней, и все они — треугольники. Сколько у него рёбер?
10. Может ли работа фирмы за любые 5 подряд идущих месяцев быть прибыльной, а по итогам года — убыточной? Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?
11. Возьмите две одинаковые монеты, одну из них закрепите, вторую приложите к первой, отметьте на её краю точку и катите без скольжения подвижную монету по неподвижной, наблюдая, какую линию описывает эта точка. Нарисуйте эту линию (она называется кардиоидой и используется в устройствах кулачковых механизмов). Сколько оборотов сделает вторая монета к тому времени, когда она вернется в первоначальное положение?
12. В первом году нашей эры блоха отправилась из Иерусалима в Москву. Первый её прыжок был длиной 1 метр, второй через 1 секунду длиной 1/2 метра, третий через 1 секунду — длиной 1/3 метра и так далее (прыжки следовали через 1 секунду и длина n-го прыжка была 1/n метра). Добралась ли блоха до Москвы к настоящему времени?
Младшим школьникам (10–11 лет) достаточно решить 3–4 задачи.
2. Две деревни расположены на одном берегу реки. Как нужно проложить дорогу из одной деревни в другую, чтобы она заходила на берег реки и имела наименьшую длину?
3. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 120.
4. Докажите, что длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра.
5. Можно ли число 10 представить в виде разности квадратов двух целых чисел? А число 12? Если можно, укажите все возможные представления, а если нельзя, то докажите это.
6. Найдите сумму углов пятиконечной звезды (не обязательно правильной формы).
7. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?
8. Петя загадал одно из трех чисел 1, 2 и 3. Какой вопрос, допускающий ответы да, нет и не знаю, нужно задать, чтобы определить задуманное число? Петя всегда говорит правду.
9. У многогранника n граней, и все они — треугольники. Сколько у него рёбер?
10. Может ли работа фирмы за любые 5 подряд идущих месяцев быть прибыльной, а по итогам года — убыточной? Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?
11. Возьмите две одинаковые монеты, одну из них закрепите, вторую приложите к первой, отметьте на её краю точку и катите без скольжения подвижную монету по неподвижной, наблюдая, какую линию описывает эта точка. Нарисуйте эту линию (она называется кардиоидой и используется в устройствах кулачковых механизмов). Сколько оборотов сделает вторая монета к тому времени, когда она вернется в первоначальное положение?
12. В первом году нашей эры блоха отправилась из Иерусалима в Москву. Первый её прыжок был длиной 1 метр, второй через 1 секунду длиной 1/2 метра, третий через 1 секунду — длиной 1/3 метра и так далее (прыжки следовали через 1 секунду и длина n-го прыжка была 1/n метра). Добралась ли блоха до Москвы к настоящему времени?
Младшим школьникам (10–11 лет) достаточно решить 3–4 задачи.
Задачи на движение
1. Аня идет от дома до школы 30 минут, а ее младший брат Боб — 40 минут. Боб вышел из дома на 5 минут раньше Ани. Через сколько минут Аня догонит брата?
2. Аня обычно приезжала на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ней приезжал Боб и вез ее домой. Однажды она приехала на час раньше, пошла пешком, встретила на дороге Боба и вернулась домой на 20 минут раньше обычного. Сколько времени она шла пешком?
3. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, первый — из A в B, второй — из B в A. Скорость первого в 2 раза больше скорости второго. Во сколько раз больше времени после встречи будет в пути второй пешеход, чем первый?
4. Аня и Боб одновременно отправились из летнего лагеря домой в город: Аня пешком, а Боб на велосипеде. Боб доехал до города, развернулся, доехал до Ани, снова развернулся и так далее, пока они вместе не оказались в городе. Скорость Боба в 3 раза больше скорости Ани. Во сколько раз дольше он ехал от Ани к городу, чем наоборот? Какое расстояние проехал Боб, если расстояние от лагеря до города 2 мили?
5. Машина полчаса ехала со скоростью 40 миль в час, затем полчаса стояла и потом снова ехала полчаса с той же скоростью до конечного пункта. Сколько миль проезжала машина за отрезок времени длиной 1 час? Зависит ли ответ от выбора этого отрезка?
6. Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток времени в 1 час она перемещалась на 40 миль. Могла ли она за 2.5 часа проехать больше 100 миль?
Alpha (10-12 лет): 3-4 задачи; Beta (13-14 лет): все задачи.
2. Аня обычно приезжала на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ней приезжал Боб и вез ее домой. Однажды она приехала на час раньше, пошла пешком, встретила на дороге Боба и вернулась домой на 20 минут раньше обычного. Сколько времени она шла пешком?
3. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, первый — из A в B, второй — из B в A. Скорость первого в 2 раза больше скорости второго. Во сколько раз больше времени после встречи будет в пути второй пешеход, чем первый?
4. Аня и Боб одновременно отправились из летнего лагеря домой в город: Аня пешком, а Боб на велосипеде. Боб доехал до города, развернулся, доехал до Ани, снова развернулся и так далее, пока они вместе не оказались в городе. Скорость Боба в 3 раза больше скорости Ани. Во сколько раз дольше он ехал от Ани к городу, чем наоборот? Какое расстояние проехал Боб, если расстояние от лагеря до города 2 мили?
5. Машина полчаса ехала со скоростью 40 миль в час, затем полчаса стояла и потом снова ехала полчаса с той же скоростью до конечного пункта. Сколько миль проезжала машина за отрезок времени длиной 1 час? Зависит ли ответ от выбора этого отрезка?
6. Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток времени в 1 час она перемещалась на 40 миль. Могла ли она за 2.5 часа проехать больше 100 миль?
Alpha (10-12 лет): 3-4 задачи; Beta (13-14 лет): все задачи.
Инварианты
1. На листке написаны целые числа от 1 до 10. Разрешается за один ход стереть любые два числа и написать вместо них их сумму. Какое число останется в конце?
2. На столе стоят 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?
3. Круг разбит на 6 секторов, в которых по часовой стрелке расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается прибавить по единице к любым двум соседним числам. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали одинаковы?
4. Аня порвала лист бумаги на 3 части и дальше рвёт каждый попадающийся ей кусок тоже на 3 части. Может ли у неё получиться 100 кусков?
5. В банке находится 17 черных и 17 белых кофейных зёрен. Разрешается за один ход выбрать случайно два зерна, и если они одного цвета, то вынуть их и добавить в банку черное зерно, а если они разного цвета, то белое зерно вернуть в банку, а черное вынуть.
Какого цвета зерно останется в банке?
6. Шесть детей стоят по кругу, и на каждом из них сидит комар. Время от времени какие-то 2 комара одновременно перелетают со своего ребёнка на соседнего. Могут ли все комары собраться на одном ребёнке?
7. В таблице 8×8 одна из клеток закрашена черным цветом, а все остальные — белым. Можно ли с помощью перекрашивания строк и столбцов добиться того, чтобы все клетки стали белыми? Перекрашивание — это операция изменения цвета всех клеток в строке или столбце.
8. Из бумажной шахматной доски 8×8 вырезали две клетки: левую нижнюю и правую верхнюю. Можно ли дальше разрезать её на прямоугольники 2×1?
9. Можно ли пройти конём из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний угол, побывав на каждой клетке ровно один раз?
Alpha (10–12 лет): 4 задачи, Beta (13–14 лет): 8 задач.
2. На столе стоят 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?
3. Круг разбит на 6 секторов, в которых по часовой стрелке расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается прибавить по единице к любым двум соседним числам. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали одинаковы?
4. Аня порвала лист бумаги на 3 части и дальше рвёт каждый попадающийся ей кусок тоже на 3 части. Может ли у неё получиться 100 кусков?
5. В банке находится 17 черных и 17 белых кофейных зёрен. Разрешается за один ход выбрать случайно два зерна, и если они одного цвета, то вынуть их и добавить в банку черное зерно, а если они разного цвета, то белое зерно вернуть в банку, а черное вынуть.
Какого цвета зерно останется в банке?
6. Шесть детей стоят по кругу, и на каждом из них сидит комар. Время от времени какие-то 2 комара одновременно перелетают со своего ребёнка на соседнего. Могут ли все комары собраться на одном ребёнке?
7. В таблице 8×8 одна из клеток закрашена черным цветом, а все остальные — белым. Можно ли с помощью перекрашивания строк и столбцов добиться того, чтобы все клетки стали белыми? Перекрашивание — это операция изменения цвета всех клеток в строке или столбце.
8. Из бумажной шахматной доски 8×8 вырезали две клетки: левую нижнюю и правую верхнюю. Можно ли дальше разрезать её на прямоугольники 2×1?
9. Можно ли пройти конём из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний угол, побывав на каждой клетке ровно один раз?
Alpha (10–12 лет): 4 задачи, Beta (13–14 лет): 8 задач.
Конструкции
1. Разбейте квадрат отрезками прямых на прямоугольники так, чтобы любые два из прямоугольников вместе не образовывали некоторый больший прямоугольник.
2. Из 20 одинаковых плиток — прямоугольных треугольников, один катет которого вдвое больше другого, — сложите квадрат.
3. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Как так может быть? (Попробуйте сначала взять вместо круга квадрат 2×2, а вместо полукруга — прямоугольник 1×2 как половинку квадрата.)
4. Нарисуйте замкнутую ломаную из 6 звеньев, которая пересекает каждое своё звено ровно один раз.
5. Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непересекающимися отрезками так, чтобы каждая точка была соединена ровно с четырьмя другими точками.
6. Как можно завернуть кубик с ребром 1 в квадратный кусок бумаги со стороной 3? Объясните это, нарисовав, как из квадрата со стороной 3 можно вырезать развертку поверхности куба с ребром 1.
Нужно решить 3–4 задачи. Рисунки можно сделать на компьютере или от руки на бумаге, а затем сфотографировать или отсканировать.
2. Из 20 одинаковых плиток — прямоугольных треугольников, один катет которого вдвое больше другого, — сложите квадрат.
3. Фигурой нельзя накрыть полукруг, но двумя такими же фигурами можно накрыть круг того же радиуса. Как так может быть? (Попробуйте сначала взять вместо круга квадрат 2×2, а вместо полукруга — прямоугольник 1×2 как половинку квадрата.)
4. Нарисуйте замкнутую ломаную из 6 звеньев, которая пересекает каждое своё звено ровно один раз.
5. Расположите на плоскости 6 точек и соедините их непересекающимися отрезками так, чтобы каждая точка была соединена ровно с четырьмя другими точками.
6. Как можно завернуть кубик с ребром 1 в квадратный кусок бумаги со стороной 3? Объясните это, нарисовав, как из квадрата со стороной 3 можно вырезать развертку поверхности куба с ребром 1.
Нужно решить 3–4 задачи. Рисунки можно сделать на компьютере или от руки на бумаге, а затем сфотографировать или отсканировать.
Принцип Дирихле
Принцип Дирихле (Pigeonhole Principle, Dirichlet's Box Principle) в формулировке с кроликами и клетками:
Если в n клетках сидит n+1 кролик, то найдётся по крайней мере одна клетка, в которой сидят не менее двух кроликов.
1. Докажите, что если 21 кролик или больше посажены в 10 клеток, то в какой-то клетке находится по крайней мере 3 кролика.
2. В классе учится 25 учеников. Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся в одном и том же месяце. Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
3. Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?
4. Докажите, что из любых 11 натуральных чисел можно выбрать 2 числа, разность которых делится на 10.
Подсказка. Чисел 11 (это кролики), а возможных последних цифр (это клетки) только 10.
5. Докажите, что из любого 21 натурального числа можно выбрать 3 таких, разности которых делятся на 10.
6. Докажите, что из любых 10 натуральных чисел, ни одно из которых не делится на 10, можно выбрать такие 2 числа, разность которых делится на 10.
7. Докажите, что из любых 10 натуральных чисел можно выбрать несколько (возможно, одно), сумма которых делится на 10.
8. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое число орехов.
9. Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольниками?
10. В равносторонний треугольник со стороной 1 бросили 5 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превышает 1/2.
11. В квадрат со стороной 4 бросили 5 точек. Докажите, что найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 3.
Подсказка. Измерения показывают (и можно доказать), что в квадрате со стороной 2 диагональ меньше 3.
12. В квадрат со стороной 2 бросили 10 точек. Докажите, что найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 1.
13. Докажите, что в квадратную коробочку со стороной 3 нельзя положить 10 монет диаметра 1 без наложений.
Подсказка. Допустим, что можно. Заметьте, что центры монет находятся в квадрате со стороной 2 и примените предыдущую задачу.
14. Докажите, что в данный момент на Земле живут два человека, которые родились в одну секунду.
Alpha (10–12 лет): задачи 1–5, 8–10; Beta (13–14 лет): все задачи.
Если в n клетках сидит n+1 кролик, то найдётся по крайней мере одна клетка, в которой сидят не менее двух кроликов.
1. Докажите, что если 21 кролик или больше посажены в 10 клеток, то в какой-то клетке находится по крайней мере 3 кролика.
2. В классе учится 25 учеников. Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся в одном и том же месяце. Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
3. Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?
4. Докажите, что из любых 11 натуральных чисел можно выбрать 2 числа, разность которых делится на 10.
Подсказка. Чисел 11 (это кролики), а возможных последних цифр (это клетки) только 10.
5. Докажите, что из любого 21 натурального числа можно выбрать 3 таких, разности которых делятся на 10.
6. Докажите, что из любых 10 натуральных чисел, ни одно из которых не делится на 10, можно выбрать такие 2 числа, разность которых делится на 10.
7. Докажите, что из любых 10 натуральных чисел можно выбрать несколько (возможно, одно), сумма которых делится на 10.
8. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое число орехов.
9. Можно ли накрыть равносторонний треугольник двумя меньшими равносторонними треугольниками?
10. В равносторонний треугольник со стороной 1 бросили 5 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превышает 1/2.
11. В квадрат со стороной 4 бросили 5 точек. Докажите, что найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 3.
Подсказка. Измерения показывают (и можно доказать), что в квадрате со стороной 2 диагональ меньше 3.
12. В квадрат со стороной 2 бросили 10 точек. Докажите, что найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 1.
13. Докажите, что в квадратную коробочку со стороной 3 нельзя положить 10 монет диаметра 1 без наложений.
Подсказка. Допустим, что можно. Заметьте, что центры монет находятся в квадрате со стороной 2 и примените предыдущую задачу.
14. Докажите, что в данный момент на Земле живут два человека, которые родились в одну секунду.
Alpha (10–12 лет): задачи 1–5, 8–10; Beta (13–14 лет): все задачи.
Кузнечик
Кузнечик прыгает по целым точкам числовой прямой и всегда начинает свое путешествие из точки 0.
1. Кузнечик может прыгать на 3 и на 5 единиц длины как вперед, так и назад. Покажите, что он может попасть как в точку 1, так и в точку −1.
2. Покажите, что в ситуации задачи 1 Кузнечик может попасть в любую целую точку (то есть в точку числовой прямой, координата которой — целое число).
3. Что можно сказать про путешествия Кузнечика (см. задачи 1 и 2), если у него прыжки длиной: а) 4 и 6; б) 5 и 7; в) 6 и 9? Докажите свои утверждения.
Далее Кузнечик начинает свое путешествие из точки 0, но прыгает по числовой прямой только вперед (в положительном направлении). Точки, в которые он может попасть, называются достижимыми, а остальные — недостижимыми. Начальная точка 0 считается достижимой. Все отрицательные целые точки оказываются недостижимыми.
4. Кузнечик может прыгать вперед на 3 и на 5 единиц длины. Отметьте все достижимые точки. Докажите, что все точки, начиная с 8, оказываются достижимыми.
Пометим достижимую точку буквой A, а недостижимую — буквой B. Вот как расположатся пометки вблизи точки 0:
Первая слева буква A отмечает точку старта (точку 0). До нее слева буквы B отмечают недостижимые отрицательные точки. Нужно продолжить пометки вправо. Интересно, как там расположены буквы?
5. Кузнечик может прыгать вперед на 5 и на 7 единиц длины. Отметьте все достижимые точки (приведите слово из букв A и B). Начиная с какой достижимой точки все следующие за ней также будут достижимые?
6. Кузнечик может прыгать вперед на a и на b единиц длины, где a и b — взаимно простые числа (их наибольший общий делитель равен 1). Докажите, что есть замечательная точка, которая достижимая, стоит после недостижимой, а все следующие за ней точки тоже достижимые. Найдите формулу замечательной точки (зависимость ее координаты от a и b).
Интересно, как устроены множества достижимых и недостижимых точек?
7. Проверьте в случаях 4 и 5, что множества достижимых и недостижимых точек симметричны друг другу относительно некоторой точки. Докажите это утверждение в общем случае 6.
8. Опираясь на результат 7, подсчитайте в случае 6 количество положительных недостижимых точек.
О задачах. Кузнечик — исполнитель из учебника "Алгоритмика" для 5-7 классов. Близкая тема: алгоритм Евклида. Задача 4 в формулировке с трехкопеечными и пятикопеечными монетами — часто используемый пример на метод математической индукции: "Если первая в очереди женщина и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди женщины".
Alpha (10-12 лет): задачи 1, 2, 3 и какое-то продвижение в задачах 4 и 5.
Beta (13-14 лет): задачи 4 и 5 и продвижения в задачах 6-8.
1. Кузнечик может прыгать на 3 и на 5 единиц длины как вперед, так и назад. Покажите, что он может попасть как в точку 1, так и в точку −1.
2. Покажите, что в ситуации задачи 1 Кузнечик может попасть в любую целую точку (то есть в точку числовой прямой, координата которой — целое число).
3. Что можно сказать про путешествия Кузнечика (см. задачи 1 и 2), если у него прыжки длиной: а) 4 и 6; б) 5 и 7; в) 6 и 9? Докажите свои утверждения.
Далее Кузнечик начинает свое путешествие из точки 0, но прыгает по числовой прямой только вперед (в положительном направлении). Точки, в которые он может попасть, называются достижимыми, а остальные — недостижимыми. Начальная точка 0 считается достижимой. Все отрицательные целые точки оказываются недостижимыми.
4. Кузнечик может прыгать вперед на 3 и на 5 единиц длины. Отметьте все достижимые точки. Докажите, что все точки, начиная с 8, оказываются достижимыми.
Пометим достижимую точку буквой A, а недостижимую — буквой B. Вот как расположатся пометки вблизи точки 0:
...BBBABBA...
Первая слева буква A отмечает точку старта (точку 0). До нее слева буквы B отмечают недостижимые отрицательные точки. Нужно продолжить пометки вправо. Интересно, как там расположены буквы?
5. Кузнечик может прыгать вперед на 5 и на 7 единиц длины. Отметьте все достижимые точки (приведите слово из букв A и B). Начиная с какой достижимой точки все следующие за ней также будут достижимые?
6. Кузнечик может прыгать вперед на a и на b единиц длины, где a и b — взаимно простые числа (их наибольший общий делитель равен 1). Докажите, что есть замечательная точка, которая достижимая, стоит после недостижимой, а все следующие за ней точки тоже достижимые. Найдите формулу замечательной точки (зависимость ее координаты от a и b).
Интересно, как устроены множества достижимых и недостижимых точек?
7. Проверьте в случаях 4 и 5, что множества достижимых и недостижимых точек симметричны друг другу относительно некоторой точки. Докажите это утверждение в общем случае 6.
8. Опираясь на результат 7, подсчитайте в случае 6 количество положительных недостижимых точек.
О задачах. Кузнечик — исполнитель из учебника "Алгоритмика" для 5-7 классов. Близкая тема: алгоритм Евклида. Задача 4 в формулировке с трехкопеечными и пятикопеечными монетами — часто используемый пример на метод математической индукции: "Если первая в очереди женщина и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди женщины".
Alpha (10-12 лет): задачи 1, 2, 3 и какое-то продвижение в задачах 4 и 5.
Beta (13-14 лет): задачи 4 и 5 и продвижения в задачах 6-8.
Неравенства с фиксированной суммой
∗ В трёх пакетах находится 1 кг муки, причём в первом пакете муки не больше, чем во втором, а во втором — не больше, чем в третьем. Может ли во втором пакете быть 2/5 кг муки? 3/5 кг муки?
∗ (продолжение) Докажите, что в первом пакете, самое большее, 1/3 кг муки, а во втором, самое большее, — 1/2 кг муки.
∗ Какие значения может принимать средний по величине угол треугольника? Подсказка: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
∗ Докажите, что в выпуклом пятиугольнике не может быть больше трёх острых углов.
∗ В четырёх мешках находится 12 кг муки, причём в первом мешке муки не больше, чем во втором, во втором мешке — не больше, чем в третьем, а в третьем — не больше, чем в четвёртом.
a) Докажите, что в третьем мешке не больше 6 кг муки.
b) Сколько, самое меньшее, может быть муки в четвёртом мешке?
c) Докажите, что во втором и третьем мешках вместе, самое большее, 8 кг муки.
d) Сколько, самое меньшее, может быть муки в первом и четвёртом мешках вместе?
Источник — статья В.Л.Гутенмахера Неравенства с фиксированной суммой в журнале Квант. Задание для детей 13–14 лет.
∗ (продолжение) Докажите, что в первом пакете, самое большее, 1/3 кг муки, а во втором, самое большее, — 1/2 кг муки.
∗ Какие значения может принимать средний по величине угол треугольника? Подсказка: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
∗ Докажите, что в выпуклом пятиугольнике не может быть больше трёх острых углов.
∗ В четырёх мешках находится 12 кг муки, причём в первом мешке муки не больше, чем во втором, во втором мешке — не больше, чем в третьем, а в третьем — не больше, чем в четвёртом.
a) Докажите, что в третьем мешке не больше 6 кг муки.
b) Сколько, самое меньшее, может быть муки в четвёртом мешке?
c) Докажите, что во втором и третьем мешках вместе, самое большее, 8 кг муки.
d) Сколько, самое меньшее, может быть муки в первом и четвёртом мешках вместе?
Источник — статья В.Л.Гутенмахера Неравенства с фиксированной суммой в журнале Квант. Задание для детей 13–14 лет.
Занимательная арифметика
∗ На какие (натуральные) числа делятся числа (a) 1001, (b) 10101, (c) 10001, (d) 111111 ? Как можно упростить подсчёты?
∗ Вычислите: 111111111 × 111111111.
∗ Назовём действие простым, если это сложение или вычитание, умножение на 10 (приписывание справа нуля) или применение правила
12345678 × 9 + 9 = 111111111
123456789 × 8 + 9 = 987654321
объяснив, как можно посчитать левую часть с помощью простых действий.
∗ Поделите число 999999 на 7 и умножьте результат на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, получится 6 чисел. Проверьте, что они отличаются друг от друга перестановкой цифр по кругу.
∗ Аня может любой кусок хлеба поделить на две равные (по весу) части. Как ей поделить 7 хлебов между 8 людьми поровну?
Источник — книга Я.И.Перельмана "Занимательная арифметика". Задание для детей 10-12 лет.
∗ Вычислите: 111111111 × 111111111.
∗ Назовём действие простым, если это сложение или вычитание, умножение на 10 (приписывание справа нуля) или применение правила
a×c + b×c = (a + b)×c, a×c − b×c = (a − b)×c
(слева направо или наоборот). Докажите красивые равенства12345678 × 9 + 9 = 111111111
123456789 × 8 + 9 = 987654321
объяснив, как можно посчитать левую часть с помощью простых действий.
∗ Поделите число 999999 на 7 и умножьте результат на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, получится 6 чисел. Проверьте, что они отличаются друг от друга перестановкой цифр по кругу.
∗ Аня может любой кусок хлеба поделить на две равные (по весу) части. Как ей поделить 7 хлебов между 8 людьми поровну?
Источник — книга Я.И.Перельмана "Занимательная арифметика". Задание для детей 10-12 лет.
Избранные задачи 2009
Первое задание осеннего семестра, решения принимаются до 15 сентября 2009 г.
Alpha — для детей 10–12 лет (12 задач)
∗ У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?
∗ У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы у них стало денег поровну?
∗ Имеется куб с ребром 6 см, грани которого покрашены красным цветом. Представим себе, что его разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько маленьких кубиков имеют: а) одну; б) две; в) три красные грани? d) ни одной красной грани?
∗ На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?
∗ Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км/ч, то опоздает на 1 час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?
Beta — для детей 13–14 лет (12 задач)
∗ Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
∗ В некоторой компании установлено дежурство на неделю, причем каждый день дежурят трое и каждые двое дежурят вместе ровно один раз. Сколько человек в этой компании? Сколько раз должен дежурить каждый?
∗ В доме обитают кошки и собаки. Известно, что в первом подъезде процент кошек выше, чем в третьем, а во втором — выше, чем в четвертом. Верно ли, что процент кошек в первом и втором подъездах выше, чем в третьем и в четвертом подъездах вместе?
∗ В строке 20 целых чисел. Сумма любых трех последовательно стоящих чисел положительна. Может ли сумма всех 20 чисел быть отрицательна?
∗ Расположите на плоскости 7 точек так, чтобы среди любых трех из них нашлись две на расстоянии 1.
Alpha — для детей 10–12 лет (12 задач)
∗ У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?
∗ У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы у них стало денег поровну?
∗ Имеется куб с ребром 6 см, грани которого покрашены красным цветом. Представим себе, что его разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько маленьких кубиков имеют: а) одну; б) две; в) три красные грани? d) ни одной красной грани?
∗ На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?
∗ Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км/ч, то опоздает на 1 час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?
Beta — для детей 13–14 лет (12 задач)
∗ Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
∗ В некоторой компании установлено дежурство на неделю, причем каждый день дежурят трое и каждые двое дежурят вместе ровно один раз. Сколько человек в этой компании? Сколько раз должен дежурить каждый?
∗ В доме обитают кошки и собаки. Известно, что в первом подъезде процент кошек выше, чем в третьем, а во втором — выше, чем в четвертом. Верно ли, что процент кошек в первом и втором подъездах выше, чем в третьем и в четвертом подъездах вместе?
∗ В строке 20 целых чисел. Сумма любых трех последовательно стоящих чисел положительна. Может ли сумма всех 20 чисел быть отрицательна?
∗ Расположите на плоскости 7 точек так, чтобы среди любых трех из них нашлись две на расстоянии 1.
Построения на плоскости
∗ Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.
∗ Дана окружность, но центр её не указан. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
∗ Разделите циркулем и линейкой отрезок на 6 равных частей, проведя не более 8 линий (прямых, окружностей).
∗ Задача Наполеона. Пользуясь только циркулем, разделите окружность с заданным центром на четыре равные дуги.
∗ Даны окружность и прямая, пересекающая её в диаметрально противоположных точках A и B. Точка M не лежит ни на этой прямой, ни на окружности. Пользуясь только линейкой, опустите из точки М на прямую AB перепендикуляр.
∗ Найдите середины оснований трапеции с помощью одной линейки.
∗ Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Пользуясь одной линейкой, удвойте его.
Задание в виде pdf-файла здесь, в нём 20 задач.
Источники: "Математическая шкатулка" Ф.Ф.Нагибина и материалы ВМШ при МГУ (Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М.: Просвещение, 1984).
Учебники: Адамар и Киселёв. Задачник: Гордин. Дополнительно: Курант и Роббинс, книга переиздана МЦНМО; сайт geometry.ru. Программы для геометрических построений: C.a.R, Geogebra и др.
∗ Дана окружность, но центр её не указан. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
∗ Разделите циркулем и линейкой отрезок на 6 равных частей, проведя не более 8 линий (прямых, окружностей).
∗ Задача Наполеона. Пользуясь только циркулем, разделите окружность с заданным центром на четыре равные дуги.
∗ Даны окружность и прямая, пересекающая её в диаметрально противоположных точках A и B. Точка M не лежит ни на этой прямой, ни на окружности. Пользуясь только линейкой, опустите из точки М на прямую AB перепендикуляр.
∗ Найдите середины оснований трапеции с помощью одной линейки.
∗ Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Пользуясь одной линейкой, удвойте его.
Задание в виде pdf-файла здесь, в нём 20 задач.
Источники: "Математическая шкатулка" Ф.Ф.Нагибина и материалы ВМШ при МГУ (Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М.: Просвещение, 1984).
Учебники: Адамар и Киселёв. Задачник: Гордин. Дополнительно: Курант и Роббинс, книга переиздана МЦНМО; сайт geometry.ru. Программы для геометрических построений: C.a.R, Geogebra и др.
Числовая прямая
∗ При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x2 ?
∗ Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых среди неравенств
∗ На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?
∗ Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых
∗ Напишите выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два).
∗ Докажите, что
∗ Вычислите произведение
∗ Сначала бревно хотели распилить на 7 равных частей, и наметили распилы красной краской; потом собрались пилить на 13 равных частей и наметили распилы зелёной краской; наконец, его распилили на 20 равных частей. Докажите, что все части, кроме двух крайних, имеют ровно одну пометку — либо красную, либо зелёную.
Задание в виде pdf-файла для печати здесь (см. аттачмент внизу страницы), в нём 4 части (Координаты на прямой, Абсолютная величина, Целая часть, Дроби), всего 32 задачи.
Использовалась книжка "Задачи по математике" под ред. А.Шеня (изд. МЦНМО, 2000), под названием "Задачи математического класса" её можно найти здесь, а вот здесь её pdf-файл.
∗ Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых среди неравенств
x>1, x>2, ..., x>9, x>10
нечётное число верных.∗ На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?
∗ Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых
|x + 1| + |x - 2| = 5.
∗ Напишите выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два).
∗ Докажите, что
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100 =
= 1/51 + 1/52 + 1/53 + ... + 1/99 + 1/100.
∗ Вычислите произведение
(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) ... (1 - 1/100).
∗ Сначала бревно хотели распилить на 7 равных частей, и наметили распилы красной краской; потом собрались пилить на 13 равных частей и наметили распилы зелёной краской; наконец, его распилили на 20 равных частей. Докажите, что все части, кроме двух крайних, имеют ровно одну пометку — либо красную, либо зелёную.
Задание в виде pdf-файла для печати здесь (см. аттачмент внизу страницы), в нём 4 части (Координаты на прямой, Абсолютная величина, Целая часть, Дроби), всего 32 задачи.
Использовалась книжка "Задачи по математике" под ред. А.Шеня (изд. МЦНМО, 2000), под названием "Задачи математического класса" её можно найти здесь, а вот здесь её pdf-файл.
Числа и суммы
Задание по книге "Числа и суммы", смотрите её у А.Л.Городенцева, а pdf-файл здесь. Далее Tn = 1 + 2 + … + n — треугольное число.
∗ Докажите теорему Диофанта: 8 Tn + 1 = (2 n + 1) 2, показав, как разрезать квадрат с произвольной нечетной стороной на 8 одинаковых ступенчатых треугольников и один квадратик.
∗ Докажите теорему сложения треугольных чисел
Полный текст здесь (6 задач).
∗ Докажите теорему Диофанта: 8 Tn + 1 = (2 n + 1) 2, показав, как разрезать квадрат с произвольной нечетной стороной на 8 одинаковых ступенчатых треугольников и один квадратик.
∗ Докажите теорему сложения треугольных чисел
T m+n = Tm + Tn + mn,
выяснив, что получится, если от ступенчатого треугольника со стороной m+n отрезать треугольник со стороной m и треугольник со стороной n.Полный текст здесь (6 задач).
Геометрия I
Задание по книге А.Шеня "Геометрия" (стр. 1-30), написанной по беседам с И.М.Гельфандом.
∗ Внутри треугольника ABC взята точка D. Докажите, что AD+DC < AB+BC.
∗ Как разрезать символ инь-янь (рис. в книжке) на 7 равных частей?
∗ В выпуклом четырёхугольнике ABCD две пары сторон равны: AB=BC, AD=DC. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
∗ На большом поле есть узкая прямая канава длиной 500 метров. Турист стоит на берегу канавы на расстоянии 200 метров от её конца (и 300 метров от другого конца). Нарисуйте часть поля, в которую он может попасть, пройдя не более 400 метров и не переходя канавы.
∗ Докажите, что расстояние между двумя точками внутри круга не больше диаметра круга.
Полный текст и pdf-файл для печати здесь (11 задач).
∗ Внутри треугольника ABC взята точка D. Докажите, что AD+DC < AB+BC.
∗ Как разрезать символ инь-янь (рис. в книжке) на 7 равных частей?
∗ В выпуклом четырёхугольнике ABCD две пары сторон равны: AB=BC, AD=DC. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
∗ На большом поле есть узкая прямая канава длиной 500 метров. Турист стоит на берегу канавы на расстоянии 200 метров от её конца (и 300 метров от другого конца). Нарисуйте часть поля, в которую он может попасть, пройдя не более 400 метров и не переходя канавы.
∗ Докажите, что расстояние между двумя точками внутри круга не больше диаметра круга.
Полный текст и pdf-файл для печати здесь (11 задач).
Тест: А. Шень, вариант ЕГЭ
∗ Купец купил лошадь за 5 рублей, затем продал за 6, решил, что продешевил и выкупил за 7, и, наконец, продал за 8. Сколько всего денег он на этом заработал?
∗ Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab=3, bc=2, cd=4, de=5. Найдите отношение a ⁄ e.
∗ Картонная коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её боковые грани — прямоугольники, имеющие периметр 16, 20 и 24 сантиметров. Найдите объём коробки.
∗ В кубе ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, проходящая через точку A, середину ребра CD и точку K, лежащую на ребре CC1 и делящую его в отношении CK:KC1 = 2:3. Какой многоугольник получается в пересечении этой плоскости с кубом?
∗ Цилиндрическую кружку радиуса 1 и высоты 2, наполненную до верха водой, наклонили на угол 30 градусов. Найдите объём оставшейся в кружке воды.
Полный текст и pdf-файл для печати здесь (17 задач). Источник: комментарий А.Шеня.
∗ Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab=3, bc=2, cd=4, de=5. Найдите отношение a ⁄ e.
∗ Картонная коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Её боковые грани — прямоугольники, имеющие периметр 16, 20 и 24 сантиметров. Найдите объём коробки.
∗ В кубе ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, проходящая через точку A, середину ребра CD и точку K, лежащую на ребре CC1 и делящую его в отношении CK:KC1 = 2:3. Какой многоугольник получается в пересечении этой плоскости с кубом?
∗ Цилиндрическую кружку радиуса 1 и высоты 2, наполненную до верха водой, наклонили на угол 30 градусов. Найдите объём оставшейся в кружке воды.
Полный текст и pdf-файл для печати здесь (17 задач). Источник: комментарий А.Шеня.
Subscribe to:
Posts (Atom)