∗ Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых среди неравенств
x>1, x>2, ..., x>9, x>10
нечётное число верных.∗ На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?
∗ Нарисуйте на числовой оси точки x, для которых
|x + 1| + |x - 2| = 5.
∗ Напишите выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два).
∗ Докажите, что
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/99 - 1/100 =
= 1/51 + 1/52 + 1/53 + ... + 1/99 + 1/100.
∗ Вычислите произведение
(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) ... (1 - 1/100).
∗ Сначала бревно хотели распилить на 7 равных частей, и наметили распилы красной краской; потом собрались пилить на 13 равных частей и наметили распилы зелёной краской; наконец, его распилили на 20 равных частей. Докажите, что все части, кроме двух крайних, имеют ровно одну пометку — либо красную, либо зелёную.
Задание в виде pdf-файла для печати здесь (см. аттачмент внизу страницы), в нём 4 части (Координаты на прямой, Абсолютная величина, Целая часть, Дроби), всего 32 задачи.
Использовалась книжка "Задачи по математике" под ред. А.Шеня (изд. МЦНМО, 2000), под названием "Задачи математического класса" её можно найти здесь, а вот здесь её pdf-файл.
