Первое задание осеннего семестра, решения принимаются до 15 сентября 2009 г.
Alpha — для детей 10–12 лет (12 задач)
∗ У Сережи было 7 картофелин, у Паши было 5, а у Коли вообще не было. Они сварили картошку и разделили ее поровну на троих. Благодарный Коля дал Сереже с Пашей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?
∗ У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы у них стало денег поровну?
∗ Имеется куб с ребром 6 см, грани которого покрашены красным цветом. Представим себе, что его разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько маленьких кубиков имеют: а) одну; б) две; в) три красные грани? d) ни одной красной грани?
∗ На сколько сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни?
∗ Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км/ч, то опоздает на 1 час. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?
Beta — для детей 13–14 лет (12 задач)
∗ Имеется 16 монет, причем известно, что любые две монеты различаются по весу. Как за 22 взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
∗ В некоторой компании установлено дежурство на неделю, причем каждый день дежурят трое и каждые двое дежурят вместе ровно один раз. Сколько человек в этой компании? Сколько раз должен дежурить каждый?
∗ В доме обитают кошки и собаки. Известно, что в первом подъезде процент кошек выше, чем в третьем, а во втором — выше, чем в четвертом. Верно ли, что процент кошек в первом и втором подъездах выше, чем в третьем и в четвертом подъездах вместе?
∗ В строке 20 целых чисел. Сумма любых трех последовательно стоящих чисел положительна. Может ли сумма всех 20 чисел быть отрицательна?
∗ Расположите на плоскости 7 точек так, чтобы среди любых трех из них нашлись две на расстоянии 1.
