1. От моста поплыли пловец против течения и мяч по течению. Через 20 минут пловец вспомнил о мяче, повернул обратно и догнал его в 2 км от моста. Какова скорость течения?
2. Две деревни расположены на одном берегу реки. Как нужно проложить дорогу из одной деревни в другую, чтобы она заходила на берег реки и имела наименьшую длину?
3. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 120.
4. Докажите, что длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра.
5. Можно ли число 10 представить в виде разности квадратов двух целых чисел? А число 12? Если можно, укажите все возможные представления, а если нельзя, то докажите это.
6. Найдите сумму углов пятиконечной звезды (не обязательно правильной формы).
7. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?
8. Петя загадал одно из трех чисел 1, 2 и 3. Какой вопрос, допускающий ответы да, нет и не знаю, нужно задать, чтобы определить задуманное число? Петя всегда говорит правду.
9. У многогранника n граней, и все они — треугольники. Сколько у него рёбер?
10. Может ли работа фирмы за любые 5 подряд идущих месяцев быть прибыльной, а по итогам года — убыточной? Может ли такое положение продолжаться в течение 6 лет?
11. Возьмите две одинаковые монеты, одну из них закрепите, вторую приложите к первой, отметьте на её краю точку и катите без скольжения подвижную монету по неподвижной, наблюдая, какую линию описывает эта точка. Нарисуйте эту линию (она называется кардиоидой и используется в устройствах кулачковых механизмов). Сколько оборотов сделает вторая монета к тому времени, когда она вернется в первоначальное положение?
12. В первом году нашей эры блоха отправилась из Иерусалима в Москву. Первый её прыжок был длиной 1 метр, второй через 1 секунду длиной 1/2 метра, третий через 1 секунду — длиной 1/3 метра и так далее (прыжки следовали через 1 секунду и длина n-го прыжка была 1/n метра). Добралась ли блоха до Москвы к настоящему времени?
Младшим школьникам (10–11 лет) достаточно решить 3–4 задачи.
