Числа и суммы

Это первое задание по одноимённой книге московских математиков, её можно найти у А.Л.Городенцева, а pdf-файл — в нашей библиотеке. В нём больше задач, чем было год назад, вот некоторые:

∗ Придумайте картинку, дающую формулу для (a+b+c) 2, и напишите эту формулу.

∗ Найдите такое наименьшее число n, что существует ровно пять различных прямоугольников, состоящих ровно из n клеточек.

∗ Сложите прямоугольник из двух одинаковых ступенчатых треугольников Tn. Каковы его стороны? Получите отсюда явную формулу для треугольного числа Tn  =  1 + 2 + … + n.

∗ Как разрезать прямоугольник 9×16 на две части, из которых можно сложить квадрат?

∗ Докажите теорему Диофанта: 8Tn + 1 = (2n + 1) 2, показав, как разрезать квадрат с произвольной нечетной стороной на 8 одинаковых ступенчатых треугольников и один квадратик.

∗ Докажите теорему сложения треугольных чисел
Tm+n = Tm + Tn + mn
Выясните, что получится, если от ступенчатого треугольника со стороной m+n отрезать треугольник со стороной m и треугольник со стороной n.