∗ Придумайте картинку, дающую формулу для (a+b+c) 2, и напишите эту формулу.
∗ Найдите такое наименьшее число n, что существует ровно пять различных прямоугольников, состоящих ровно из n клеточек.
∗ Сложите прямоугольник из двух одинаковых ступенчатых треугольников Tn. Каковы его стороны? Получите отсюда явную формулу для треугольного числа Tn = 1 + 2 + … + n.
∗ Как разрезать прямоугольник 9×16 на две части, из которых можно сложить квадрат?
∗ Докажите теорему Диофанта: 8Tn + 1 = (2n + 1) 2, показав, как разрезать квадрат с произвольной нечетной стороной на 8 одинаковых ступенчатых треугольников и один квадратик.
∗ Докажите теорему сложения треугольных чисел
T m+n = Tm + Tn + mn
Выясните, что получится, если от ступенчатого треугольника со стороной m+n отрезать треугольник со стороной m и треугольник со стороной n.