Задание по книге А.Шеня "Геометрия": стр. 30–53, контрольные задачи 120, 121, 122, 125, 126, 127, 149, 157, 165, 169, 170, 175, 176, 177, 188.
∗ Продолжения двух противоположных сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пересекаются под углом 20°, продолжения двух других противоположных сторон AD и BC — тоже. Докажите, что два угла в четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40°.
∗ Через данную точку проведите прямую, которая пересекает две данные (не параллельные) прямые под равными углами. (Построение с помощью циркуля и линейки.)
∗ Дан прямой угол. Из произвольной точки X внутри этого угла опускают перпендикуляры XA и XB на его стороны. Нарисуйте, где находятся точки X, для которых расстояние между точками A и B меньше 1.
∗ Бумажная полоска имеет параллельные прямые края. Две такие полоски одинаковой ширины наложены друг на друга. Докажите, что в пересечении получается ромб. На какой угол повернутся диагонали этого ромба, если одну из полосок повернуть на угол α?
∗ Два угла квадрата со стороной a выступают за пределы полосы ширины a с параллельными краями. Стороны квадрата пересекают края полосы в четырёх точках. Докажите, что диагонали четырёхугольника, вершинами которого являются эти точки, пересекаются под углом в 45°.
∗ Высота треугольника вдвое меньше стороны, на которую она опущена, а один из углов, примыкающих к этой стороне, равен 75°. Найти углы треугольника.
