CSMath Blog: Графики многочленов

Первая задача в задании "Функции и графики I" особая, в ней требуется нарисовать график многочлена до того, как поупражняешься с линейными, дробно-линейными и квадратичными функциями. Нужно взять несколько точек, посчитать в них значения функции, отметить точки графика и соединить их плавной линией. Точек стоит взять побольше, пока никакой науки не знаешь, а что касается науки, то стоит посмотреть, в каких точках график пересекает ось абсцисс (нули многочлена), на каких интервалах значения функции положительны и на каких отрицательны, ну и нужно не забыть точку 0, посчитать в ней значение функции, будешь знать, в какой точке график пересекает ось ординат.

Зачем нужна эта задача в начале книжки? Учиться рисовать картинки, они помогают думать. Графики должны быть нарисованы на клетчатой плоскости, чтобы можно было их проверить. Рисунок "от руки" нужно отсканировать (или сфотографировать) и вставить в работу. Если это не подходит, то можно сделать рисунок в программе GeoGebra или в какой-то другой (не забывая, что это иллюстрация рисунка от руки), вырезать и вставить в работу. Использование графических калькуляторов (и программы GeoGebra в таком качестве) не обсуждается просто потому, что на первом месте стоит чтение книжки — такой, какая она есть, она учит рисовать и узнавать нарисованное.

Идея рисовать график по точкам бедная. Книжка учит искать симметрию графика, использовать геометрические пребразования: сжатия и растяжения, сдвиг (параллельный перенос). Начиная с 6-го издания (см. pdf-файл на сайте МЦНМО) добавлен параграф "Многочлены", он в конце книжки, но с её началом перекликается, посмотрите. И это ещё не всё, можно отметить точки, через которые проходит график, и для некоторых точек указать, как он через них проходит, — показать направление, касательную к графику в этой точке. Здесь дальше я про это расскажу.

1 а) Постройте график многочлена y = x³ − x² − 2x + 2.

Разложим многочлен на множители:

$x^3-x^2-2x+2=(x^2-2)(x-1)=(x+\sqrt{2})(x-1)(x-\sqrt{2})$

Он обращается в нуль в точках $-\sqrt{2},$

и $\sqrt{2}.$ Эти точки делят числовую прямую на 4 интервала. Выясним, какой знак имеет многочлен на каждом из этих интервалов. Это можно сделать с помощью таблицы (в книжке есть рисунок на полях), с полными обозначениями она выглядит так:

	$x<-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}<x<1$	$1<x<\sqrt{2}$	$x>\sqrt{2}$
$x+\sqrt{2}$	−	+	+	+
	−	−	+	+
$x-\sqrt{2}$	−	−	−	+
$(x+\sqrt{2})(x-1)(x-\sqrt{2})$	−	+	−	+

Дальше возьмите несколько точек, посчитайте в них значения функции, отметьте точки графика, соедините их плавной линией и не забудьте про точку x=0. Это только подсказки, но из них можно взять таблицу и написать решение.

В Google Docs форматирование текста и набор формул сделаны не лучшим образом, но можно писать решения чёрными чернилами на белой бумаге, а графики рисовать на белой бумаге в клетку, затем всё это сканировать и вставлять в свою работу.

1 б) Постройте график многочлена y = x³ − 2x² + x.

Задача. Постройте график многочлена f(x)=x−x³.

Решение. Разложим многочлен на множители:

x − x³ = x (1 − x) (1 + x) = − (x + 1) x (x − 1).

Нули многочлена −1, 0 и 1, в этих точках график пересекает ось абсцисс. Посмотрим, как ведёт себя многочлен вблизи этих точек. При x, близких к 0, множитель x близок к 0, а остальные множители — нет, их произведение близко к 1 и поэтому f(x) близко к x. Иначе говоря, функция f при x, близких к 0, ведёт себя как функция y=x, а на языке геометрии — прямая y=x является касательной к графику функции f в точке 0 (нарисовали подходящий кусочек этой прямой красным цветом). При x, близких к 1, множитель x−1 близок к 0, а остальные множители — нет, их произведение близко к −2 и поэтому f(x) близко к −2(x−1)=2(1−x). Другими словами, функция f при x, близких к 1, ведёт себя как функция y=2(1−x), а прямая y=2(1−x) является касательной к графику функции f в точке 1 (покажем на рисунке кусочек этой прямой). Аналогично работаем с точкой −1 и рисуем ещё одну касательную, ну и пора заметить, что функция f нечётная. При больших x (это значит, что |x| большой) функция f ведёт себя как функция y=−x³, так как слагаемое x мало по сравнению со слагаемым −x³, вот и покажем красным цветом кусочки графика y=−x³ при x, немного меньших 2, они для нас уже большие. Остаётся нарисовать график с учётом информации, показанной красным цветом, — см. рисунок, так бы я рисовал "от руки" (ну а GeoGebra помогла об этом рассказать).

Задача. Постройте график многочлена f(x) = x² − x³.

Подсказка. Вблизи точки 0 функция f ведёт себя как функция y=x².

Вернёмся теперь к задаче 1 б), где нужно построить график многочлена f(x)=x³−2x²+x.

Разложим многочлен на множители: x³ − 2x²+ x = x(x − 1)². При x, близких к 0, функция ведёт себя как функция y=x, а при x, близких к 1, — как функция y=0 (это ведь касательная), но так говорить нехорошо, потому что можно сказать точнее: как функция y=(x−1)². Ну а писать решение задачи — писать обо всём подробно.

Проверка основана на том, что у ученика есть время на учёбу, раз он взялся учиться. Поэтому ученик должен писать не хуже, чем авторы книги, по которой он учится (ведь им могло не хватать времени на книжку). Ученик должен понимать, что пишет, и этому помогает посмотреть по сторонам и критика. Я отношусь к этим принципам без лишнего фанатизма, но говорить о них должен.

Первое издание книжки "Функции и графики" вышло в 1965 году, английский перевод вместе с другими книжками И.М.Гельфанда продаётся на Амазоне, книжка переиздана издательством МЦНМО и pdf-файл свободно распространяется. Это переиздание попалось на глаза В.И.Арнольду, когда он писал статью "Что такое математика", и вот мы имеем его взгляд:

Открыв "Функции и графики", я был поражен фразой: "Значение функции f(x) в точке a мы будем обозначать через f(a)". … Функцией является не sin x, а синус, не f(x), а f. Значение функции f в точке x — вот что означает символ f(x), а вовсе не саму функцию. Смешение функций (операторов, функторов и т.д.) с их значениями — недопустимая в преподавании небрежность, делающая огромное число математических текстов совершенно неудобочитаемыми. Иерархия типов объектов, различающая элементы и множества, отображения и значения, области определения и т.д., столь же необходима для понятности текста, как обязательное упоминание квантора перед каждым вводимым вновь объектом (особенно в русском тексте, где нет артиклей, иногда заменяющих кванторы).

Что означает фраза: "значение функции f в точке x положительно", если о точке этой речи еще не было? Утверждения "значение функции f положительно в каждой точке x" и "существует точка x, в которой значение функции f положительно" имеют совершенно разный смысл. Хотя грамматически и допустимо заменить любое из них приведенной выше фразой, математически такая замена совершенно недопустима!

Еще одна типичная ошибка, делающая русские статьи непереводимыми на английский, — это русские родительные падежи. "Рассмотрим значение величины x" — что здесь x — величина или значение? … В математике это приводит к такой же неоднозначной трактуемости текста, как и неизвестно к кому относящиеся местоимения: "Иван просил отца, чтобы он купил ему козла, чтобы он ездил на нем"; спрашивается, кто на ком будет ездить? Козел на отце? В математике контекст далеко не всегда помогает сделать правильный выбор.

Он знал, о чём писал, и, как всегда, был прав. Сделаем здесь остановку.